Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
электромагнитных и гравитационных волн рассматривается параллельно.
Излагаемый подход был развит И.Б. Хрипловичем, Э.В. Шуряком (1973).
Легко видеть, что и в этом случае излучение частицы по-прежнему
сосредоточено в области углов в ~ 1 /7 (см. (8.20)). Однако
принципиальное отличие от синхротронного излучения заключается в том, что
во внешнем гравитационном поле, просто в силу принципа эквивалентности,
траектория излученной частицы, фотона или гравитона, очень близка к
траектории ультрарелятивистского излучателя. Поэтому здесь длина
формирования излучения, и электромагнитного, и гравитационного, для
движения по окружности совпадает по порядку величины с радиусом
траектории го, а не сокращается по сравнению с
8.6. Излучение в гравитационном поле95
ним в 7 раз, как это имело место во внешнем электромагнитном поле. Из-за
нелокального формирования излучения говорить о его полной интенсивности в
ЛИС нет смысла.
Поэтому будем оценивать дифференциальную интенсивность dl в элемент
телесного угла df2 по стандартной формуле
dl ~ u)2u2R2dVt .
dt'
Здесь и - характерная амплитуда поля волны; uj2u2 - оценка для плотности
потока импульса, т. е. для Tq в случае электромагнитной волны, для ?q - в
случае гравитационной. Множитель dt/dt' соответствует тому, что
интенсивность измеряется по времени t наблюдателя, а не по времени t'
источника. Поскольку t = t' + |r - r(t')|, то для ультрареля-тивистской
частицы
dt ... г - г (t) 1/1
Т- = 1 - v(t') ¦ -------------------- т = 1 - nv И
- ( - + I
dt' г - r(i') 2 \72
или
At ~ (^2 + *2) М>- (8-26)
Так как излучение сосредоточено в области углов в ~ I/7, то его
характерные частоты равны
~ "У^о ~ 72 - . (8.27)
го
Они превышают частоту обращения не в 73 раз, как в случае синхротронного
излучения (см. (8.22)), а только в j2. В этом отношении ситуация здесь
сходна с той, которая имеет место при рассеянии во внешнем
электромагнитном поле на малые углы, < I/7.
При oj<^u)c излучение распространяется под характерными углами 0^1/7
относительно направления движения излучателя, так что
1 1
и) ~
At г0в2 '
или
в ~ (изго)^1/2 ~ ) > (8.28)
(а не (wo/ш)1/3, как в случае синхротронного излучения, см. (8.25)).
96Глава 8. Гравитационные волны
Перейдем теперь от этих общих соотношений к конкретным выражениям для
электромагнитного и гравитационного излучения. В каждой из последующих
формул они описываются соответственно первым и вторым выражением.
Трехмерно-поперечные (по отношению к п) амплитуды поля и в волновой зоне
таковы:
Л ev± ев y/ks(v±)2 л/кев2
п_
1 - nv в2 + 1 / 72 1 - nv в2 + 1 / 72
Напомним, что \/ке, где е - энергия частицы, играет ту же роль в
гравитации, что и заряд частицы е в электродинамике.
Дифференциальные интенсивности излучения для углов O^l/j
равны
dlem е2 1 dlgr ке2 1 km2j2 1
~d? ~df ~ If 6 = r2 6'
И наконец, полные интенсивности:
е2 f1 d9 e2j2 ke2 f1 d9 ке2 km2j2
j-em ~ ~2 / ~ o-; Igr ~ ~/ "5" ~ ""о- lnT= ---2--ln7-
"0 Л/7 03 ^0 Г2 Л/7 0 r2 r2
(8.29)
Обсудим теперь вкратце более реальную задачу об излучении
ультрарелятивистской частицы, пролетающей с прицельным параметром р в
поле Шварцшильда. Длительность сигнала в этом случае равна At ~ р/72, так
что характерные частоты составляют изс ~ 72/р. Полную интенсивность
излучения можно получить из формул (8.29) заменой 1/тд -"¦ г2/р4.
Действительно, если при движении по окружности
ускорение равно dv/dt' ~ 1 /г*0, то в задаче рассеяния оно
составляет
dv/dt' ~ Tg/р2. Дальше остается умножить интенсивность на характерное
время пролета, и мы получаем оценки для полной потери энергии:
е2г2 72 кг2 г2 km2j2r2
Aeem ~ -§-; Ae.gr ~ -^1п7= -----------------------------------? In 7.
(8.30)
Р & /9d /9d
Задача
8.6.1 Ультрарелятивистская частица с прицельным параметром р = =
(3%/3/2)rg-(l + 8), ^ " 1 рассеивается на черной дыре (см. зада-
чу 6.5.5). Оценить полную потерю энергии на ГИ, если частица снова уходит
на бесконечность. Как меняется сечение захвата этой частицы при учете ГИ?
Глава 9
Космология и ОТО
9.1. Геометрия изотропного пространства
В основе современной космологии лежит решение уравнений Эйнштейна,
найденное А.А. Фридманом (1922). Это решение основано на предположении об
однородности и изотропии распределения материи во Вселенной.
В реальном мире материя (или, по крайней мере, ее большая часть)
конденсирована в звезды, звезды - в галактики, галактики - в скопления
галактик. Но на этом неоднородности, по-видимому, кончаются:
астрономические наблюдения, по крайней мере, не противоречат
предположению об однородности и изотропии "газа" из скоплений галактик.
В случае полной изотропии трехмерного пространства его тензор Римана
Rijki выражается через его же метрический тензор gn~. Действительно,
возьмем произвольную точку в этом пространстве и выберем в ней локально-
евклидову систему координат с ортогональными осями. В этой системе
компонента R1212 тензора Римана является гауссовой кривизной К двумерной
