Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
скоплений выглядят, как 10-109 лет. Поэтому время жизни Вселенной
заведомо не может быть намного меньше результата (9.24).
Глава 10
Насколько черны черные дыры?
10.1. Энтропия и температура черных дыр
Классические представления о черных дырах, изложенные выше, в разделе
6.5, принципиально неполны. Первым осознал это Дж. Уилер. Он рассуждал
примерно так. Возьмем ящик, заполненный излучением при некоторой
температуре Т. Он обладает, естественно, и конечной энтропией. Сбросим
этот ящик в черную дыру. Тогда энтропия наблюдаемой части Вселенной
навсегда уменьшится. Но это явное нарушение второго начала термодинамики!
Для спасения второго начала просто необходимо принять, что сама дыра
обладает энтропией, которая возрастает при поглощении этого ящика. А телу
с ненулевой энтропией естественно приписать и конечную температуру.
Несмотря на всю неожиданность этого вывода, он достаточно естествен и с
чуть иной точки зрения. Ведь черная дыра - идеальный поглотитель,
абсолютно черное тело, для которого температура вполне обычная
характеристика.
Попробуем оценить сначала эту температуру просто из соображений
размерности. Будем использовать для нее энергетические единицы. Кстати, в
этих единицах энтропия безразмерна, так что оценить ее по размерности
нельзя. Сама черная дыра характеризуется единственным параметром - массой
М. Помимо нее, если оставаться в рамках классической физики, в нашем
распоряжении есть еще две мировые константы, к и с, одна из которых,
гравитационная постоянная к, по-видимому, должна входить в ответ просто
по смыслу задачи. Очевидная комбинация Мс2 не подходит на роль
температуры: она слишком велика, да и не содержит к. Но никакой иной
комбинации, имеющей размерность энергии, из М, к и с построить нельзя.
Есть однако еще одна мировая константа - постоянная Планка Н. Используя
ее, построить требуемую комбинацию размерности энергии уже несложно.
Температура черной дыры составляет по порядку величины Не3/кМ, или (с
точностью до двойки) hc/r-g.
Формально задача решена, но возникает естественный вопрос: ка-
10.1. Энтропия и температура черных дыр109
кое отношение имеет квант действия h к нашей, на первый взгляд,
совершенно классической задаче? Чтобы ответить на него, следуя Дж.
Бекен,-штейну (1973), взглянем на ящик с излучением с несколько иной
точки зрения. Будем адиабатически опускать на тросе ящик с излучением к
черной дыре. Трос намотан на маховик, находящийся вдали от черной дыры.
Маховик раскручивается, и его энергию в принципе можно использовать.
Вспомним, что энергия тела в гравитационном поле черной дыры равна
Поэтому при медленном, адиабатическом опускании ящика, наполненного
излучением и имеющего полную массу т, выделенная таким образом энергия
равняется
Когда ящик приблизится к горизонту, откроем задвижку в его дне. После
того как излучение уйдет к горизонту, вернем ящик с помощью троса в
исходное положение, на большое расстояние от черной дыры. Энергия,
которую мы таким образом извлекли с помощью маховика, на первый взгляд
равна энергии всего излучения, которое было запасено в ящике. Казалось
бы, все оно прилипло к горизонту.
Однако дело обстоит не так. В силу соотношения неопределенности, размеры
ящика не могут быть меньше, чем длина волны излучения Л. В свою очередь,
характерная энергия квантов Нш - это не что иное как температура
излучения Т\. Таким образом, размеры ящика, в том числе и его высота,
ограничены неравенством d > Hc/Ti. С другой стороны, здесь принципиально
важна возможность вернуть ящик в исходное положение, на большое
расстояние от горизонта. Поэтому верхняя стенка ящика заведомо остается
на расстоянии, превышающем d, от горизонта. Естественно тогда, что
реально превратить в полезную работу можно не все излучение, содержащееся
в ящике, а лишь его долю, ограниченную соотношением
т?~1- - < 1 -
he
(10.1)
Обсуждаемая система, состоящая из черной дыры и ящика с излучением,
который связан с маховиком, может рассматриваться как тепловая
110Глава 10. Насколько черны черные дыры?
машина с температурой рабочего тела, излучения, Т\. Величина р - не что
иное как коэффициент полезного действия этой машины. А он, как известно,
ограничен максимальным КПД, который дается формулой Карно:
'Птах = 1 - 7fT , (Ю-2)
-L1
где Т - температура холодильника. Сравнивая соотношения (10.1) и (10.2),
приходим к выводу, что величина hc/rg по порядку величины совпадает с
температурой Т холодильника, черной дыры, в полном соответствии с
результатом, полученным из соображений размерности.
Чтобы получить численный коэффициент в соотношении Т ~ ~ hc/rg,
рассмотрим следующую задачу. Пусть квазиклассический волновой пакет
распространяется из точки г о = rg+e, близкой к горизонту, в удаленную
точку г (е " rs, г > rg). Квазиклассичность пакета позволяет использовать
при описании его движения соотношения, полученные в разделе 6.5 для
точечной частицы. Время распространения пакета из Го в г, согласно
