Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
ультрарелятивистских частиц в гравитационном поле подобный анализ и само
точное решение несравненно более сложны. В случае излучения в
гравитационном поле качественный подход оказывается не только более
наглядным, более поучительным с физической точки зрения, но и заведомо
более практичным.
Подробный качественный анализ обычного синхротронного излучения,
проведенный ниже, служит введением к следующему разделу, где
рассматривается излучение ультрарелятивистских частиц в гравитационном
поле. Можно думать, что соображения, изложенные здесь, будут полезны и
сами по себе, безотносительно к задачам, рассмотренным в следующем
разделе.
Начнем с полной интенсивности излучения. В локально-инерци-
92Глава 8. Гравитационные волны
альной системе (ЛИС), сопутствующей электрону, она равна
I' ~ е2(а')2 ~ (Е')2. (8Л6)
mz
Здесь ей m - заряд и масса электрона, a - его ускорение, Е -
напряженность электрического поля; I, а и Е снабжены штрихами, чтобы
указать, что они относятся к ЛИС. Е' получается из магнитного поля В в
лабораторной системе (ЛС) преобразованием Лоренца
Е' ~ВЪ 7 = -7=L= . (8.17)
л/1 - н
Вспомним теперь, что I - инвариант. Действительно, интенсивность
излучения выражается через вероятность испускания фотона W и его энергию
Ьш так: I = WHuj. Далее, вероятность W в ЛС связана с вероятностью W' в
ЛИС соотношением W = W'/'у (вспомним, что время жизни нестабильной
частицы в ЛС в 7 раз больше, чем в ЛИС). С другой стороны, как хорошо
известно, u> = oj'j. В итоге I' = I.
Теперь, подставляя в (8.16) выражение (8.17) для электрического поля Е' в
ЛИС, получаем хорошо известный результат
^В272. (8.18)
m
Если вместо магнитного поля В фиксировать радиус го траектории электрона,
связанный с В соотношением еВ ~ mj/ro, выражение для полной интенсивности
выглядит так:
(8.19)
'о
Перейдем теперь к угловому распределению излучения. В ЛИС оно имеет
обычную дипольную форму, это просто тригонометрия. Иными словами, в ЛИС
в' = ~ 1. Здесь k't^ - поперечная (продольная)
компонента волнового вектора фотона. В ЛС эти компоненты таковы:
kt = k't, ki = к[ 7. Поэтому в Л С ультрарелятивистский электрон излучает
в конус с характерным углом
вс ~ kt/ki ~ 7-1. (8.20)
Наблюдатель принимает сигнал, только находясь внутри конуса излучения,
который движется вместе с электроном. Элементарное рассмотрение
показывает, что электрон светит на наблюдателя только с
8.5. Синхротронное излучение ультрарелятивистских частиф3
участка дуги траектории, имеющего тот же угловой размер, что и сам конус.
В данном случае это означает, что угловой размер этого участка дуги равен
6С ~ 7-1- Иными словами, длина формирования излучения, которая в нашей
ультрарелятивистской задаче (" й с = 1) совпадает с временем
формирования, равна
At ~ Го#с ~ Го7_1.
Тогда длительность приема сигнала с учетом продольного эффекта Доплера
составляет
St = (1 - nv)A? ~ (в2 + 7_2)Дt, (8-21)
где n = к/к. При в ~ вс ~ 7-1 получаем Stc ~ го7_3. Это означает, что
характерная частота излучения в 73 раз больше, чем частота обращения ш о:
uc ~ 8t~x ~ 73Tq 1 ~ 7ги0. (8.22)
Обратимся теперь к спектральному распределению синхротрон-ного излучения.
Его интенсивность быстро падает при u> и>с. Предположим, что при и)<у)с
она меняется по степенному закону: I(u>) ~ и>". Тогда, сравнивая полную
интенсивность, которая дается интегралом
J dojI(oj) ~ u)vc+1 ~ 73(г/+1)
с формулой (8.19), получаем v = 1/3. Иными словами,
I(u>) ~ о;1/3 при uj<yjc, (8.23)
или для дискретного спектра
1п ~ и1/3 при п<;73. (8.24)
И наконец, найдем угловое распределение излучения для области частот
Ш0"ш" wc, или 1 " п " 73.
Естественно ожидать, что здесь характерные углы в больше, чем 7-1. По-
прежнему, пока угол конуса излучения мал, в <С 1, электрон светит на
наблюдателя с участка дуги траектории, имеющего тот же угловой размер в.
Но тогда, вместо соотношения (8.21), получаем
St ~ и 1 ~ в2 A.t ~ 03Го ~ 1.
94Глава 8. Гравитационные волны
Таким образом, в этой области частот
(8.25)
В заключение этого раздела подчеркнем, что полученные результаты
применимы к излучению не только при финитном движении ульт-
рарелятивистской частицы в магнитном поле, но и в более общем случае, при
рассеянии во внешних электромагнитных полях, если характерные углы
рассеяния превышают 7-1.
Задача
8.5.1 Ультрарелятивистский электрон рассеивается во внешнем
электромагнитном поле на большой угол. Найти мгновенную интенсивность
гравитационного излучения. Основной механизм его генерации в этом случае
- резонансный переход электромагнитного синхротронного излучения в
гравитационное (О.П. Сушков, И.Б. Хриплович, 1974).
8.6. Излучение ультрарелятивистских частиц в гравитационном поле
В этом разделе так же, как и в предыдущем, мы не ограничиваемся случаем
движения по окружности, который для поля Шварцшильда представляет чисто
методический интерес из-за неустойчивости ультрарелятивистских круговых
орбит. Обсуждается также излучение при инфинитном движении. Излучение
