Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(6.20), равно
т - т т
t = г - г0 + rg In - и г + rg In - (10.3)
Го f*g ?
(заметим, что обозначения го и г здесь переставлены по
сравнению
с (6.20)). Если частота была wo в точке го = rg + е, то в точке г она
равняется
Ш1 = w0 y/goo(r0 = rg + ?) И Wo 4/-.
Поскольку, в силу (10.3),
е ( t - г
- = ехр----------
г \ rg
то частота wi зависит от времени по закону
t - г
Wi = Wq 4 / - exp ^ j,
а фаза волны равна
10.1. Энтропия и температура черных дыр! 11
Спектральная функция волнового пакета выглядит на больших расстояниях
так:
/(u>) ~ J dtelwi exp ^-2шо .yrrge~(t~r^2rs^j .
С помощью замены переменных
у = 2Loay/rrge^l2e-t>2r^
этот интеграл выражается через Г-функцию:
/и ~ (2шо ,/rr})2i^e-n^T(-2iu}rg)
(мы отбросили множители, не зависящие отш). В результате спектральная
плотность волнового пакета на больших расстояниях такова:
|/И|! ~е-г'-'-|Г(-2,;ОТ1)|2 = -5- e4Jt _ t = Д- expf-wp
(10.4)
(напомним, что речь идет о квазиклассическом волновом пакете, так что
ujrg 1). Замечательным образом спектральная плотность сигнала, пришедшего
на бесконечность из окрестности горизонта, совершенно универсальна. А
если перейти от частоты и> к энергии Ны, то видно, что ведущий,
экспоненциальный множитель в (10.4) соответствует высокочастотной
асимптотике распределения с температурой
гг - JПО ^ 4тгrg 8тгкМ ' ^ ^
Впервые это выражение для температуры черной дыры было получено С.
Хокингом (1974).
Неизбежным следствием конечной температуры черной дыры является вывод о
том, что она на самом деле излучает. Дыра рождает не только фотоны и
нейтрино с энергиями порядка Т, но и частицы с ненулевой массой покоя m
(если только температура дыры достаточно велика, Т > тс2). Итак, одно из
самых удивительных свойств черных дыр состоит в том, что они светят!
Этот вывод был впервые сделан В.Н. Грибовым1. Один из его аргументов был
таким. Соотношение неопределенности АЕ At > Н поз-
1 Грибов четко сформулировал утверждение о том, что черные дыры излучают,
в обсуждениях, проходивших в 1971 или 1972 году. Это известно мне по
независимым рассказам А.Д. Долгова, Д.И. Дьяконова, JI.B. Окуня,
присутствовавших при этих дискуссиях. Остается лишь сожалеть о том, что
Грибов не опубликовал свой результат, по-видимому, считая его
самоочевидным.
112Глава 10. Насколько черны черные дыры?
воляет рождение пар частиц из вакуума на время t, не превышающее h/E\
здесь Е - полная энергия пары (как минимум, 2тс2 для частиц с массой).
Гравитационное поле в окрестности горизонта очень велико, так что уход
одной из родившихся частиц пары в черную дыру, а другой - на
бесконечность разрешен по энергии. В квантовой механике, за счет
туннельного эффекта такого рода, процессы рождения частиц становятся
возможными. В частности, рождение электрон-позитронных пар в сильных
электрических полях не только давно изучается теоретически, но и
наблюдалось экспериментально в столкновениях тяжелых ионов. По существу,
аналогичное явление может служить объяснением излучения черных дыр.
Стоит привести здесь и другое соображение Грибова. Черная дыра заведомо
не может удерживать излучение с длиной волны, превышающей гравитационный
радиус. Очевидно соответствие этого аргумента выражению (10.5) для
температуры, т. е. для частоты, за которой начинается экспоненциальный
спад интенсивности.
На самом деле, для реальных черных дыр температура (10.5) ничтожно мала.
В частности, при массе, сравнимой с массой Солнца, она составляет всего
лишь около 10-7 кельвин. Например, для того, чтобы эта температура стала
достаточной для рождения электронов и позитронов, самых легких частиц с
ненулевой массой покоя, масса черной дыры должна быть на 17 порядков
величины меньше массы Солнца, т. е. не должна превышать 1017 г. Однако у
звезд столь малой массы гравитационное поле слишком мало, они не могут
сжаться до своего гравитационного радиуса, не могут превратиться в черную
дыру. Такие легкие черные дыры могли бы, в принципе, возникать на самых
ранних стадиях эволюции Вселенной, когда плотность вещества была очень
велика.
Могут ли, однако, подобные минидыры сохраниться с тех пор? Может ли их
возраст приближаться к времени жизни Вселенной т ~ го Ю10 лет го 1017 с?
Препятствием здесь служит само тепловое излучение черной дыры. Оценим его
интенсивность I из соображений размерности. Для этого достаточно
разделить Т на характерное время, которое
10.1. Энтропия и температура черных дырИ3
Мы ввели здесь так называемую планковскую массу
тр= (-) = 2,2 • 10-5 г. (10.7)
С другой стороны, очевидно, I = - c2dM/dt. Решая дифференциальное
уравнение
dM rripC2
ИГ ~~ Ж2 '
находим, что до нашего времени могли дожить звезды с начальной массой
/т\1/3
М > тр • (10.8)
Здесь tp - так называемое планковское время:
h
tp=^=(^)/ = 0, 54 • 10-43 с. (10.9)
mpcz \с /
Вместе с энергией черная дыра теряет и массу. При этом, согласно
соотношению (10.6), интенсивность ее излучения растет, она светит все
ярче и ярче. Гравитационный радиус черной дыры становится меньше и
