Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
минимально при у = 0, т. е. при соосном расположении источника, линзы и
наблюдателя. Поскольку, однако, при таком расположении оба
5.4. Микролинзы43
изображения должны сливаться в окружность, ясно, что для у 1 эти
изображения выглядят как дуги.
Впервые гравитационная линза была обнаружена в 1979 году. Этой линзой
служила, действительно, галактика, создающая двойное изображение квазара
с угловым расстоянием между компонентами ~ 6 угловых секунд. В настоящее
время известно несколько источников в радиодиапазоне, которые выглядят
как две дуги.
Задача
5.3.1 Как выглядит обычная оптическая линза, которая имитирует отклонение
луча света гравитационным полем звезды? Как меняется толщина такой линзы
с радиусом?
5.4. Микролинзы
Если масса объекта, действующего в качестве линзы, невелика, скажем,
меньше массы Солнца, то разрешить угол между изображениями практически
немыслимо. Тем не менее, обнаружить эффект гравитационной линзы и в этом
случае можно, благодаря тому, что при сближении изображений их суммарная
яркость растет. Усиление яркости К определяется увеличением телесного
угла видимого изображения по сравнению с телесным углом реального
источника.
Чтобы оценить эффект, заметим, что ? и (, а также х и у, - это на самом
деле двумерные векторы, лежащие в плоскостях линзы и источника
соответственно. Векторная запись уравнения (5.6) выглядит, очевидно, так:
у = х-^. (5.7)
Введем в плоскостях линзы и источника координатные оси. При этом индексом
1 будем обозначать те параллельные друг другу оси, которые лежат в
плоскости, проходящей через источник, линзу и наблюдателя, т. е. в
плоскости рис. 5.1. Индекс 2 присвоим осям, которые направлены
ортогонально осям 1. Обсуждаемое отношение телесных углов составля-
44Глава 5. Слабое поле. Наблюдаемые эффекты
ет, очевидно,
к= \ (ISCMY1
l2o J \ I2
Здесь (5^i;2(^Ci,2) - размеры изображения (источника) по осям 1, 2. В
безразмерных переменных это отношение составляет
к= =|Э11/%1||Эх2/вй|'
Обе частные производные берутся при у2 = 0. Поэтому в силу (5.7) х\ и J/1
связаны тем же уравнением (5.6):
1
У1 = хг ,
XI
а соотношение между жг и у2 выглядит так:
Х2
У2 = Х2 о •
х(
Таким образом, для двух разных изображений обсуждаемое отношение телесных
углов составляет
(л/у2 + 4±?/)
К± = V - • (5.8)
^Ул/У +4
Для обоих изображений это отношение растет при малых у:
К± ~ -.
2 У
Таким образом, и суммарная яркость изображений возрастает:
К = К+ + К_ ~ - .
У
Что происходит, когда вблизи линии, направленной от наблюдателя к
источнику, проходит звезда, играющая роль гравитационной линзы? Даже если
не удается разрешить возникающее двойное изображение, наблюдаемая яркость
источника возрастает при приближении линзы к линии источник -
наблюдатель. Явление это, так называемое микролинзирование, имеет
достаточно специфический характер: рост
5.4. Микролинзы45
яркости и ее последующее падение симметричны во времени, причем изменение
яркости происходит одинаковым образом на всех длинах волн (угол
отклонения (5.4) не зависит от длины волны). Еще одна отличительная черта
явления состоит в том, что, ввиду его крайней редкости, повторение
"вспышки" звезды за счет микролинзирования практически исключено.
Эффект микролинзирования не только был обнаружен. Таким образом был
открыт новый класс небесных тел - слабосветящиеся карликовые звезды, так
называемые коричневые карлики, именно они играют роль микролинз.
Задача
5.4.1 Вывести соотношение (5.8).
Глава 6
Вариационный принцип. Точные решения
6.1. Действие для гравитационного поля.
Тензор энергии-импульса материи
Действие Sg для гравитационного поля должно быть интегралом по
четырехмерному пространству, инвариантным относительно любых
преобразований координат. Естественно потребовать, чтобы уравнения поля,
возникающие при варьировании действия, содержали производные метрического
тензора gне выше второго порядка. Тогда подынтегральное выражение в Sg
должно содержать производные от метрики не выше первого порядка. Иными
словами, оно может зависеть лишь от gftv и Г*". Однако из этих величин
построить скаляр нельзя. Действительно, переходя в локально-инерциальную
систему, можно в любой заданной точке сделать метрику плоской, а символы
Кристоффеля обратить в нуль. Однако на самом деле на роль
подынтегрального выражения может подойти скалярная кривизна R. Хотя она и
содержит вторые производные метрики, но зависит от них линейно, так что
эти вторые производные устраняются интегрированием по частям.
Итак, покажем, что варьирование действия К f d4x sJ-gH. действительно,
приводит к уравнениям Эйнштейна при соответствующем выборе
мультипликативной константы К. Вариация интеграла равна
8 J d4x yf^R = 8 J d4x y/zrggV'vRilv =
= fd4x^~g [&^VR"V + R + . (6.1)
Далее (см. раздел 3.3),
S = \ \^ggtlvSgllu.
6.1. Действие для гравитационного поля47
Используя тождество gp,vgp,v = 4, представим второе слагаемое в (6.1)
так:
S-^R = -\g^S8ftVR- (6-2)
