Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Р
где р - прицельный параметр волнового пакета. К ответу в = rg/р приводит
и наивный расчет эффекта в рамках представления о быстрой частице,
отклоняющейся на малый угол в обычном ньютоновском потенциале.
Для количественного расчета обсуждаемого эффекта вполне достаточно
приближение слабого поля. В этом приближении общековари-антное уравнение
эйконала
gtiVdli Фд"Ф = 0 сводится в центрально-симметричном поле к
(ад2 + 1 (ад2
= 0. (5.1)
Мы используем здесь решение (4.6), (4.7) для метрики вдали от
гравитирующей массы; в этом приближении отличные от нуля контравари-
антные компоненты метрики равны
Я00
= 1 + 7 , Smn = (! - 7) • (5-2)
40
Глава 5. Слабое поле. Наблюдаемые эффекты
Далее переходим к сферическим координатам и полагаем, что движение
происходит в плоскости в = тт/2.
Учитывая малость rg/r, уравнение (5.1) удобно переписать как
(ад2 + ^ (ад2
= 0. (5.3)
г
Решение ищем в виде
Ф = -u>t + торф + ф(г),
где и> - частота света. Соответствие прицельного параметра р с обычным
интегралом момента количества движения L очевидно: р ->• Ь/Ьиз (мы
полагаем здесь скорость света с = 1).
Радиальная часть эйконала равна
ф(г) = ш J dr \jl
1 - ^ + - = фо(г) + Аф(г).
Здесь фо(г) описывает невозмущенное прямолинейное движение пакета, а
малая гравитационная поправка составляет
Аф(г) = UJTg f . = = LOTgln (г + -\/r2 - р2 ] + const.
J vг2 - p2 ' '
Как обычно, траектория пакета находится дифференцированием полного
эйконала по интегралу движения:
дФ , 1 дф
-- = const, или ф =-------------- .
op uj ор
Отсюда отклонение луча света от прямой при изменении его расстояния г
до Солнца от -R до р, а затем от р до R (R ->• сю)
составляет
1 дАф д , 2R 2rg ^
в =----------------А- = -2rg - In - = . 5.4
ш ор ор р р
Для минимального р, близкого к радиусу Солнца, угол отклонения
в
равен 1,75". Это предсказание ОТО (Д. Эйнштейн, 1915) подтверждено
наблюдениями с точностью около 1%.
Напомним, что наивный расчет эффекта в рамках представления о быстрой
частице, отклоняющейся на малый угол в обычном ньютоновском потенциале,
приводит к ответу (см. начало раздела), который
5.3. Гравитационные линзыА1
вдвое меньше правильного. Расхождение неслучайно: в рассматриваемом
ультрарелятивистском случае работает не только ньютоновский потенциал, т.
е. отклонение goo от единицы. Ровно такой же вклад в отклонение дает и
пространственная метрика gmn (см. (5.1)-(5.3)).
5.3. Гравитационные линзы
Поскольку звезда отклоняет световые лучи, она может рассматриваться как
своеобразная гравитационная линза. Такая линза смещает видимое
изображение звезды-источника по отношению к ее истинному положению. В
простейшем случае соосного расположения источника, линзы и наблюдателя,
изображение источника выглядит как окружность (О.Д. Хеольсон, 1924; А.
Эйнштейн, 1936). Мы рассмотрим сразу более общую задачу, когда источник S
смещен на расстояние ( относительно оси линза - наблюдатель L - О (см.
рис. 5.1). Для простоты рассмотрения мы заменили на этом рисунке реальную
траекторию ломаной линией. В силу малости угла отклонения 0, расстояние ?
можно считать совпадающим с прицельным параметром р. И тогда, снова
учитывая малость углов 0 и ф, находим следующее соотношение для истинного
отклонения:
В упомянутом простейшем случае соосного расположения, когда ( = О,
получаем из (5.5), что воображаемый радиус кольца - изображения в
плоскости линзы - равен
Вопреки возможной наивной оценке из соображений размерности, этот угол
убывает обратно пропорционально не самим характерным расстояниям, а лишь
корню из них. Тем не менее, наблюдение эффекта практически невозможно,
даже если и источником, и линзой служат звезды.
(5.5)
*[width=0.69jfig51.eps
Рис. 5.1
а его угловой размер
42Глава 5. Слабое поле. Наблюдаемые эффекты
Однако эффект становится наблюдаемым, когда источником является
туманность, а гравитационной линзой - галактика (Ф. Цвикки, 1937). Оценим
угловой размер кольца для случая, когда эта линза состоит из Ю10 звезд с
массами того же порядка, что и масса Солнца. Пусть она находится от нас
на расстоянии порядка 106 световых лет, или 1019 км, а источник
расположен гораздо дальше (т. е. I ~ /8 /<>)• При этом
6 • Ю10
~ 10-4 рад ~ 10 угловых секунд.
10 и
Такое разрешение уже вполне под силу астрономам.
Обратимся теперь к более общему случаю, когда гравитационная линза не
лежит на прямой, соединяющей источник с наблюдателем. Здесь удобно
перейти к безразмерным переменным:
С С 1о
X - ~~ * у = - - .
& ?о I
В этих переменных уравнение (5.5) сводится к
у = х - - , (5.6)
X
с очевидным решением:
1
Х± ~ 2
(У ± Vv2 + 4) •
Таким образом, в общем случае, когда источник S смещен относительно
направления на линзу L, картина оказывается иной. Возникают два
изображения (см. рис. 5.2), одно из которых, П,
лежит снаружи кольца, соответствую- *[width=0.70]fig52.eps
щего осесимметричной картине, а другое, /г, - внутри. Расстояние между
Рис. 5.2
ними,
А = х+ - х- = л/у2 + 4,
