Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
остальных свойств симметрии удобно перейти от смешанных компонент к
ковариантным:
Перейдя снова в локально-инерциальную систему, можно доказать следующие
свойства симметрии тензора RTpflv:
Rr
= -Rr,
R.
'TppLV -
R.
R.
Tpp,v -
rppu
= -R,
= R,
'plSTp
pTpLV
(3.46)
(3.47)
3.6. Свойства тензора Римана
29
Антисимметрия по первым двум индексам, (3.46), достаточно очевидна: она
обеспечивает сохранение длины вектора при обходе по замкнутому контуру.
Симметрия относительно перестановки пар индексов, (3.47), менее наглядна,
поскольку смысл этих пар разный. Первая относится к вектору, который мы
переносим, а вторая - к площадке, вокруг которой этот вектор переносится.
Далее, равна нулю циклическая сумма по трем индексам тензора Римана при
фиксированном четвертом:
Rrppu Т Rrpvp Т Rrupp - 0 • (3.48)
Наконец, имеет место тождество Бьянки:
Rapitv,T + Raprp,-,v + Rapvr-,p, = 0- (3.49)
Сверткой по двум индексам из тензора Римана можно построить тензор
второго ранга, или тензор Риччи. Определим его следующим образом:
Д/.* = RPppv = дрГ^ ~ dvT<lp + Г'рГ?" - Г'"Г?р . (3.50)
Любая другая свертка тензора кривизны либо обращается в нуль, либо
совпадает с этой с точностью до знака. Тензор Риччи симметричен:
Rpu = Rup ¦ (3.51)
Свертка тензора Риччи дает инвариант - скалярную кривизну пространства:
R = g^RpV . (3.52)
Отметим еще дифференциальное тождество:
RVp;V = \ dpR, (3.53)
возникающее при свертке тождества Бьянки (3.49).
Найдем число независимых компонент тензора Римана для произвольной
размерности пространства п. Тензор RTPpV антисимметричен по перестановкам
т <-> р, р <-> v. Таким образом, полное число независимых комбинаций в n-
мерном пространстве и для пары тр, и для
30
Глава 3. Основы римановой геометрии
пары pv равно п(п - 1)/2. С другой стороны, тензор RTpflv симметричен по
перестановке этих пар между собой, тр <-> pv. Поэтому полное число
независимых комбинаций индексов равно
1 п(п - 1)
2 2
i(n - 1)
Однако следует еще учесть условия цикличности (3.46):
BrpllV RrpllV
R
т/лир
Rrvpll 0 •
Чтобы найти их число, заметим, что тензор BTPpV метричен. Например,
полностью антисим-
Вртри Rprp,U
' RpptUT "Ь Rpvrp, Rrppv Rrpup Rrvpp, Rrppw
Нетрудно сообразить поэтому, что полное число независимых условий
цикличности (3.46) равно п(п - 1)(п - 2)(п - 3)/4!. Окончательно полное
число независимых компонент тензора Римана равно
1 п(п - 1)
2 2
i(n - 1)
i(n - 1 )(п - 2 )(п - 3)
4!
п2(п2 - 1) 12
(3.54)
В частности,
при п = 4 тензор Римана имеет 20 независимых компонент;
при п = 3 6 компонент;
при п = 2 1 компоненту.
Вообще говоря, число компонент тензора кривизны в каждой данной точке
можно сделать еще меньшим. Действительно, локально-инер-циальная (или
локально-евклидова) система в данной точке определена с точностью до
вращений. Соответствующим выбором параметров поворота можно обратить в
нуль еще п(п-1)/2 компонент тензора кривизны. В результате, кривизна
четырехмерного пространства характеризуется в каждой точке 14 величинами,
трехмерного - 3 величинами. Это соображение не относится к двумерию, где
в качестве единственной характеристики можно выбрать скалярную кривизну:
скаляр нельзя обратить в нуль никакими поворотами.
В четырехмерном пространстве, при условии Rpv = 0 (в следующей главе
будет показано, что этим свойством обладает тензор Римана
3.7. Относительное ускорение двух частиц
31
для гравитационного поля в пустоте), тензор кривизны имеет 10 независимых
компонент. В каждой заданной точке пространства можно так выбрать систему
координат, что все компоненты RTpfli, выражаются через не более чем 4
независимых величины.
Задачи
3.6.1. Доказать формулы (3.46)-(3.49).
3.6.2. Выразить тензор Римана в двумерном пространстве через скалярную
кривизну.
3.6.3. Выразить тензор Римана в трехмерном пространстве через скалярную
кривизну и тензор Риччи.
3.6.4. Как связана скалярная кривизна поверхности сферы с радиусом этой
сферы?
3.6.5. Вычислить тензор Римана, тензор Риччи и скалярную кривизну
поверхности тора.
3.6.6. Вычислить тензор Римана поверхности конуса. Исследовать поведение
интеграла J ^J~gd2xR в окрестности вершины конуса следующим образом:
заменить вершину сферической шапочкой, а затем устремить радиус г шапочки
к нулю.
3.7. Относительное ускорение двух частиц, движущихся по близким
геодезическим
Пусть частица а движется в гравитационном поле. В нормальных координатах
на геодезической уравнение движения этой частицы свободное:
32
Глава 3. Основы римановой геометрии
Уравнение движения частицы Ь, движущейся по соседней геодезической,
сводится в первом порядке по разности координат ^(s) = x?(s) - x%(s) (по
т. н. геодезическому отклонению) к
пг^1 НпгР г],т'г
^ + = *
Отсюда в нормальных координатах на траектории частицы а уравнение ионен
(Ptj11
для геодезического отклонения гтаково:
ds2
+ dvT" pvupuT = 0. (3.55)
Это уравнение можно переписать в ковариантной форме, пригодной в
