Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Лучшие эксперименты, проведенные с помощью спутников с активным
отражением, подтверждают этот результат ОТО с точностью
6.4.1. Получить формулу (6.19) из (6.18) с помощью замены переменных
(6.11).
ДТ = rg In
Wl\ + Pi X'2 + P2
(6.19)
0,2%.
Задачи
хКак не вспомнить здесь известное высказывание В.А. Фока: "Физика -
наука, по существу, простая. Главная проблема в ней - понимать, что какая
буква означает".
58Глава 6. Вариационный принцип. Точные решения
6.4.2. Доказать, что третий закон Кеплера выполняется для круговых
орбит в шварцшильдовых координатах и не выполняется в изотропных.
6.5. Движение в сильном гравитационном поле
Рассмотрим теперь движение точечной частицы в сильном гравитационном
поле. Удобно использовать для этого уравнение Гамильтона-Якоби:
Для движения в плоскости в = 7г/2 это уравнение выглядит в шварцшильдовых
координатах так:
(Х - 7) _1 &S)2 - (Х - 7) (ад2 " ^ (ад2 - т2 = °' (6'2°)
Его решение ищем в виде
S = -Et + Ьф + s(r).
Нас здесь интересует случай радиального движения частицы, когда
орбитальный момент L = 0. При этом
Искомая зависимость г = r(t) находится из уравнения dS/dE = const:
Выбор знака перед интегралом соответствует движению частицы к центру, г с
ростом t уменьшается. В качестве начального условия при t = 0 выберем г =
Го, г = 0. При этом
^d^SdvS -т2 = 0.
ИЛИ
Для простоты примем еще, что го rg. И тогда получаем
6.5. Движение в сильном гравитационном поле59
Отсюда при г -> rg находим:
drre
/
t ~ - / - , или г - г" ~ Гр-е
Таким образом, с точки зрения удаленного наблюдателя, частица
асимптотически приближается к гравитационному радиусу, достигая его
только при t оо. При этом скорость частицы dr/dt асимптотически стремится
к нулю.
Рассмотрим еще распространение света по радиусу из точки г в точку г0 >
г. Здесь ds2 = 0, так что dt = dr^\grr\/y/goo и время распространения
света
At= Г dr (1- ^Y1 =r0-r + rglnr-^A (6.21)
J Г V Г / Г Г g
стремится к бесконечности по мере того, как исходная точка г приближается
к rg. Сигнал с поверхности г = rg идет бесконечное время. Более того,
частота света, воспринимаемая удаленным наблюдателем, также падает с
приближением источника к rg, меняясь по закону
ш ~ 1 - Г-А . (6.22)
Г
Один множитель ^/1 - rg/r в этом соотношении возникает, как обычно, из
а Другой связан с движением источника к центру.
Однако падение частицы на центр выглядит совершенно иначе для
наблюдателя, свободно падающего вместе с этой частицей. Интервал
собственного времени равен
dr = л/goodt2 + grrdr2 = \/goo(dt/dr)2 + grrdr = ( ^ ^ I
V r r0J
-1/2
Видно, что частица достигает сферы Шварцшильда за конечное собственное
время
/'
J Го
- 1/2
Гр- Т р \ ,
dr.
>г0 \ ' Г0.
При этом вблизи гравитационного радиуса скорость частицы по собственному
времени стремится к с.
После того, как частица пересечет сферу Шварцшильда, она движется к
центру г = 0 и достигает его также за конечное время. Здесь,
60Глава 6. Вариационный принцип. Точные решения
при г < rg, goo становится отрицательным, a grr - положительным. Иными
словами, внутри сферы Шварцшильда t становится пространственноподобной
координатой, а г - времениподобной! Движение частицы при г <rg
показывает, как течет "время" г в этой области: оно течет в начало
координат г = 0. Но это означает, что даже если попытаться, скажем,
включив ракетный двигатель, изменить при г < rg направление движения
частицы на обратное, то это не удастся, каким бы мощным ни был двигатель.
Внутри сферы г = rg движение возможно только к центру.
Таким образом, сфера Шварцшильда - это горизонт событий, односторонний
клапан, не пропускающий наружу, к удаленному наблюдателю, никаких
сигналов. Отсюда и название такого объекта - черная дыра. Впрочем, мы
увидим дальше, что это название не совсем точно.
В заключение этого раздела, еще раз отметим, что шварцшиль-дова система
координат неполна: она не описывает движение внутри сферы г = rg. Кроме
того, в ней goo обращается в 0, a grr - в бесконечность при г = rg. Эта
особенность специфична для данной системы координат. Инварианты метрики в
точке г = rg регулярны. Это очевидно для детерминанта метрического
тензора, g = -г4 sin2 9, и может быть доказано прямым расчетом для
инварианта RllvpTTlilvpT. Однако этот инвариант обращается в
бесконечность при г = 0. В этой точке метрика имеет истинную
сингулярность.
Чтобы построить систему координат, свободную от сингулярности при г = rg,
можно выбрать совокупность свободно падающих пылинок и пронумеровать их
радиальной меткой Л, а в качестве времени выбрать собственное время т на
пылинке (Леметр, 1938). Сингулярности в этой системе координат,
действительно, нет. Но нет и неподвижных частиц внутри горизонта. Кстати,
в этой системе не только инвариант RfivpTR>ll/pT остается конечным при г
= rg, конечны в сопутствующей системе и все компоненты тензора Римана.
Иными словами, в этой системе координат остаются конечными на горизонте и
приливные силы, действующие на протяженное, неточечное тело (см. раздел
