Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
меридианов, и перенесем его вдоль этого меридиана, не меняя угла между
ними (в данном случае нулевого), на экватор. Далее, перенесем его вдоль
экватора, снова не меняя угол между вектором и экватором (на сей раз
тг/2), на второй меридиан. И наконец, таким же образом вернемся вдоль
второго меридиана на полюс. Легко видеть, что, в отличие от такого же
переноса по замкнутому контуру на плоскости, вектор окажется в конечном
счете повернутым относительно своего исходного направления на тт/2, или
на
Этот результат, поворот вектора при его переносе вдоль замкнутого контура
на угол, пропорциональный охваченной площади, естественным образом
обобщается не только на произвольную двумерную поверхность,
a + (3 + 7 - 7г
(3.36)
S
a + (3 + ¦у - ж = К S.
(3.37)
26
Глава 3. Основы римановой геометрии
но и на многомерные неевклидовы пространства. Однако в общем случае n-
мерного пространства кривизна не сводится к одной скалярной величине
К(х). Это более сложный геометрический объект - тензор кривизны, или
тензор Римана. К его изучению мы теперь приступаем.
3.5. Тензор кривизны
Если х11 (s) - параметрическое уравнение кривой (здесь s - длина дуги),
то вектор и11 = dx^/ds - это орт касательной к кривой. Если эта кривая -
геодезическая, то вдоль нее Du11 = 0. Иными словами, если и11 параллельно
перенести из точки на геодезической в точку х11 + dx11 на ней же, то он
совпадет с вектором и11 + du11, касательным к геодезической в точке х11 +
dx11. Таким образом, при движении вдоль геодезической орт касательной
переносится параллельно себе.
По определению при параллельном переносе двух векторов "угол" между ними
остается неизменным. Поэтому при параллельном переносе любого вектора
вдоль геодезической угол между ним и касательной к геодезической не
меняется, т. е. остаются постоянными составляющие вектора по
геодезическим линиям во всех точках пути.
Мы уже видели выше, что на поверхности сферы вектор после параллельного
переноса по замкнутому контуру не совпадает в исходной точке с самим
собой. Рассмотрим теперь более общую задачу: найдем изменение ААЙ вектора
при параллельном переносе в римановом пространстве по бесконечно малому
замкнутому контуру. В общем виде это изменение записывается в виде
интеграла j> SAM по данному контуру. Учитывая соотношение (3.13),
получаем:
Преобразуем этот интеграл с помощью теоремы Стокса. Для этого нам
понадобятся значения вектора АЙ внутри бесконечно малого контура
интегрирования. Строго говоря, эти значения не являются функциями точки,
а зависят от пути, по которому в эту точку приходят. Однако для
бесконечно малого контура эта неоднозначность имеет второй порядок
малости, так что ею можно пренебречь и определять вектор АЙ внутри через
его значения на контуре с помощью производных:
(3.38)
daAv = ГРаАр .
(3.39)
3.5. Тензор кривизны
27
Теперь, снова учитывая, что площадь А/рт внутри контура бесконечно мала,
получаем с помощью теоремы Стокса:
ДА, = \ [др(ГртА,) - дт(ТррАр)\ АГ =
= \ [дрТрт Ар - дтТ"р Ар + Грт дрАр - Трр дтА"] АГ ¦ Учитывая соотношение
(3.37), получаем в итоге:
AAV= 1-ЯГтАРАГ, (3.40)
где
R^Pr = дРПт - дтт"р + 4PTZr - КгКР (3.41)
- тензор кривизны, или тензор Римана.
Аналогичная формула справедлива и для контравариантного вектора Av.
Поскольку при параллельном переносе скаляры не меняются, то
A(AVBV) = AAVBV + AVABV = AAVBV + A" i WvpTBpAr =
= ВР(ААГ 1-RrTAvAr) = 0-В силу произвольности вектора Вр отсюда следует:
AAV =-X-R^vpTAv ¦ (3-42)
Операции ковариантного дифференцирования неперестановочны. В частности,
Afj-fi-v - Ap.v.p = RTppvAT , (3.43)
Ap,p,v ~ A".^ = -RpTflvAT , (3.44)
Apo-;ju;v - Apa.v.p = R ppvATa + R apvApT . (3.45)
Эти тензорные соотношения легко доказываются в локально-инерциаль-ной
системе координат.
В плоском пространстве тензор Римана равен нулю. Действительно, в таком
пространстве можно выбрать координаты так, что везде Грр = 0, а
следовательно, и RTpflll = 0. А тензор, равный нулю в одной
системе координат, равен нулю и во всякой другой.
28
Глава 3. Основы римановой геометрии
Верно и обратное: если тензор Римана равен нулю, то пространство плоское.
Действительно, локально в данной точке можно в любом пространстве выбрать
евклидову систему. А при RT ppv = 0 параллельный перенос евклидова репера
из данной точки в любую другую не зависит от пути. Таким образом,
евклидову систему можно однозначно построить во всем пространстве. Это и
означает, что пространство плоское.
Задачи
3.5.1. Доказать формулы (3.43)-(3.45).
3.5.2. Как выглядит уравнение Максвелла (2.2) в гравитационном поле в
ковариантной калибровке Лоренца, где А11 = О?
3.5.3. Напряженность электромагнитного поля Fpv в плоском пустом
пространстве удовлетворяет уравнению ^Fpv = 0. Как выглядит
соответствующее уравнение в гравитационном поле?
3.6. Свойства тензора Римана
Антисимметрия тензора Римана по двум последним индексам,
очевидна из его определения (см. (3.40), (3.41)). Для исследования
