Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
полей справедлив принцип суперпозиции.
duд
т-- = eFд .
2.1. Электродинамика и гравитация
11
Уравнения движения точечной частицы во внешнем гравитационном поле
таковы:
(Jlt№
- = -Т^п\ (2.5)
Здесь символ ГД;г/к в случае слабого гравитационного поля следующим
образом выражается через его потенциал, симметричный тензор второго ранга
ЛД1/:
- 2 "t" &nhvn). (2*6)
Уравнения для слабого гравитационного поля (в калибровке, аналогичной
лоренцевой) выглядят так:
? V = -16тгА: (Тдг/ - i Чд"Г"). (2.7)
Здесь
к = 6,67390(9) • ИГ8 см3 • г-1 • с"2 (2.8)
- ньютоновская гравитационная постоянная, а тензор энергии-импульса
точечных частиц равен
V = YsmaS(r (2-9)
a
Сходство с электродинамикой очевидно, но и отличие, на самом деле, очень
велико.
Дело в том, что источником электромагнитного поля служат заряды, при этом
само электромагнитное поле нейтрально, оно заряда не несет. Источником же
гравитационного поля является энергия, однако и само гравитационное поле
обладает энергией. Поэтому уравнения гравитационного поля в
действительности нелинейны. Линейные уравнения (2.6), (2.7) справедливы,
как уже отмечалось, лишь для слабых полей.
Задача
2.1.1 Как ведут себя плотность тока (2.3) и тензор энергии-импульса
(2.9) при преобразованиях Лоренца? Как преобразуется <$(r - гa(t))?
12
Глава 2. Частица в гравитационном поле
2.2. Принцип эквивалентности и геометризация тяготения
В основе ОТО лежит ясный физический принцип, твердо установленный
экспериментальный факт, известный еще Галилею: все тела движутся в поле
тяжести (в отсутствие сопротивления среды) с одинаковым ускорением,
траектории всех тел с заданной скоростью искривлены в гравитационном поле
одинаково. Благодаря этому, в свободно падающем лифте никакой эксперимент
не может обнаружить гравитационное поле. Иными словами, в свободно
движущейся в гравитационном поле системе отсчета в малой области
пространства-времени гравитации нет. Последнее утверждение - это одна из
формулировок принципа эквивалентности. Данное свойство поля тяготения
отнюдь не тривиально. Достаточно вспомнить, что в случае
электромагнитного поля ситуация совершенно иная. Существуют, например,
незаряженные, нейтральные тела, которые электромагнитного поля вообще не
чувствуют. Так вот, гравитационно-нейтральных тел нет, не существует ни
линеек, ни часов, которые не чувствовали бы гравитационного поля. Нет
объектов, которые в этом поле можно было бы отождествить с прямыми, как в
евклидовой геометрии. Поэтому геометрию нашего пространства естественно
считать неевклидовой.
Однако в локальной системе, связанной со свободно падающим лифтом,
метрика остается метрикой Минковского, а интервалы времени и координат
измеряются обычными часами и линейками. Во всем же пространстве при
наличии гравитационного поля этого нельзя сделать. Координаты ж0,ж1,
ж2,ж3 - просто метки в пространстве-времени. Они непрерывны, т.е. двум
близким точкам соответствуют близкие значения жд. Общий вид интервала
таков:
ds2 = gtll/dx,ldx1', (2.10)
здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.
Симметричный тензор второго ранга ^дг/(ж) определяет риманово
пространство. Так как в локально-инерциальной системе он сводится к Vnv =
diag(l, -1, -1, -1), то ранг матрицы g^ix) равен 4, а сигнатура равна (-
2).
Разумная физическая реализация системы координат в римано-вом
пространстве - это пыль без столкновений. Каждая пылинка имеет
пространственную метку жт, m = 1,2,3, на каждой пылинке произвольно
идущие часы. Координаты непрерывны, на некоторой простран-
2.3. Уравнения движения точечной частицы
13
ственноподобной поверхности на всех часах положено х° = 0. В такой
физически разумной метрике g0o > 0, метрика gmn поверхности х° = 0 имеет
ранг 3 и сигнатуру (-3).
Метрика, создаваемая хорошо локализованным распределением гравитирующих
масс, асимптотически плоская. Однако наша Вселенная в целом может быть и
неэвклидова.
2.3. Уравнения движения точечной частицы
В специальной теории относительности траектория, по которой движется
свободная точечная частица между двумя точками А и В, определяется
вариационным принципом
где ds - интервал в пространстве Минковского. Поскольку действие
гравитационного поля сводится к изменению метрики пространства-времени,
то в этом поле вариационный принцип имеет ту же форму (2.11), однако
теперь ds - интервал в римановом пространстве, который определяется
формулой (2.10). Иными словами, так или иначе, в пространстве Минковского
или пространстве Римана, точечная частица движется по геодезической.
Начнем с вариации ds2:
5ds2 = 8(gIM/dxfldx'') = dx gIM/8xxdxfldx1' + gfll/(d8xfldxt/ +
dx^dSx1').
Перебрасывая d с dSxд и dSxv на остальные множители, т.е. фактически
интегрируя по частям, и переобозначая индексы суммирования, получаем
отсюда:
Переходя затем к 4-скорости = dx11 /ds, находим, таким образом,
Окончательно, приходим к следующему уравнению движения для точечной
