Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
частицы в гравитационном поле:
(2.11)
2dsSds = 8xx[{d\gtiv - <9MgA" - dl/g\l_l)dxIJ-dx1' - 2gXvd2xv].
8
8xxds[ulluv{dxgIJ,v ~ dfigxv ~ dvgXtl) - 2g^xiifl].
14
Глава 2. Частица в гравитационном поле
где
Кх = \ ^(d.gvx + dxgvK - OvgKX), (2.13)
а контравариантный метрический тензор gflL' связан с ковариантным
тензором gVK соотношением g^vgVK = Sд. Величина ГДА носит название
символа Кристоффеля. Нетрудно убедиться в том, что в случае слабого
гравитационного поля, когда метрика пространства мало отличается от
плоской, gдг/ = т?дг/ + 1г,дг/, |й,дг/| <С 1, эти уравнения переходят в
соотношения (2.5), (2.6), выписанные ранее в разделе 2.1.
Полезно ввести ковариантный вектор 4-скорости ид = g^u1'. Используя
соотношения (2.12) и (2.13), а также тождество
dguv д dx
= oKgu,v - = dng^u ,
нетрудно показать, что ковариантная 4-скорость удовлетворяет уравнению
^ = (2.14)
ds 2 дх^
Отсюда следует вполне естественное утверждение: в гравитационном поле, не
зависящем от некоторой координаты жд, сохраняется соответствующая
ковариантная компонента 4-скорости #д, а с ней и ковариантная компонента
4-импульса рд = тид. Так, в гравитационном поле, не зависящем от времени
t, сохраняется энергия Е = ро, а в аксиальносимметричном поле, не
зависящем от ф, сохраняется Lz = рф.
Локально-инерциальная система в заданной точке соответствует такому
выбору координат, при котором gд1/ = ??дг/, ГДА = 0. Таких систем
существует множество, они связаны друг с другом преобразованиями Лоренца.
Физически достаточно очевидно, что локально-инерциальную систему можно
выбрать не только в точке, но и на геодезической, т.е. на всей траектории
точечной частицы, движущейся в гравитационном поле. Такие координаты
называют нормальными координатами на геодезической.
2.4. Ньютоновское приближение
Как соотносятся уравнения (2.12) с обычными уравнениями движения
нерелятивистской частицы в слабом гравитационном поле? Итак, пусть
2.4. Ньютоновское приближение
15
скорость частицы мала, v <<? 1; отклонение метрики от плоской мало,
ёдг/ - ?7дг/ + h^i/, | h^v | 1,
и к тому же поля медленно меняются во времени, т.е.
\дН^/дЦ < \дк^/дхт\.
В этом приближении уравнения (2.12) сводятся к
Л2 ~ 100- ^mgOO-
Потребуем теперь, чтобы был выполнен закон Ньютона,
i2xm dt2
- дтФ'!
где ф - потенциал гравитационного поля. Естественное граничное условие
для хорошо локализованного источника гравитационного поля:
goo -> 1, </>->¦ 0 при \хт\ ->¦ оо.
Тогда
goo = 1 + 2 ф.
В частности, на большом расстоянии г от источника массы М получаем:
2 кМ
goo - 1 -
С ~ Г
(мы восстановили въявь в этой формуле скорость света с).
Величину
2 кМ
rg= ~jT
называют гравитационным радиусом. Для Солнца (его масса М0 = = 2 • 1033
г) гравитационный радиус равен rgQ ра 3 км. При радиусе Солнца Rq ps 7 •
Ю10 см, даже на его поверхности отклонение метрики от плоской очень мало:
10-5. Приведем еще значение грави-
тационного радиуса Земли: rgQ и 1 см.
Глава 3
Основы римановой геометрии
3.1. Контравариантные и ковариантные тензоры. Тетрады
Соображения, изложенные в начале этой главы, справедливы для пространств
более общих, чем пространство ОТО. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство,
будем использовать для тензорных индексов не греческий, а латинский
алфавит. Многие результаты этой главы не зависят ни от размерности
пространства п, ни от сигнатуры метрики.
Рассмотрим преобразование координат хг = /*(ж'). При этом дифференциалы
координат преобразуются так:
Контравариантным вектором называется совокупность п величин А1, которые
при преобразовании координат преобразуются, как дифференциалы координат:
Пусть ф - некоторый скаляр. Его частные производные преобразуются по
иному закону:
Ковариантным вектором называется совокупность п величин Ai, которые при
преобразовании координат преобразуются как производные от скаляра:
(3.1)
дф дх'к дф
(3.3)
дх1 дх1 дх'к
(3.4)
3.1. Контравариантные и ковариантные тензоры. Тетрады
17
Аналогично определяются тензоры различных рангов. Так, кон-травариантный
тензор второго ранга преобразуется как
у <№_ dxi_ ,ы
дх'ь дх'1 ' ( '
ковариантный тензор второго ранга - как
Ais= -^--^АкЬ (3.6)
3 дхг дхз кп v '
смешанный тензор второго ранга - как
i _ д^_ дх^ .к ~ дх'ь dxi Al '
Вернемся теперь к интервалу (2.10). Поскольку ds2 = gijdxldx3 -
инвариант, то ясно, что gy - ковариантный тензор. Его называют
метрическим тензором. Контравариантным метрическим тензором называется
тензор g**, обратный gy, т. е.
^ёц = ^.
Найдем теперь, как выглядит в криволинейных координатах элемент объема.
Введем вектор dr, соединяющий две бесконечно близкие точки х1 и х1 + dxl:
dr = eidx1. Здесь е* - вектор, касательный к координатной линии г,
проходящей через исходную точку х. Ясно, что бесконечно малый вектор dr
можно задать через его компоненты dra в локальной лоренцевой (или
декартовой) системе координат. Выражение для вектора dr можно переписать
в виде dra = efdx1. Четверку линейнонезависимых реперных векторов е" в
