Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Последнее слагаемое в (6.1) рассмотрим в локально-инерциальной системе.
Меняя местами операции варьирования и дифференцирования, находим в этой
системе
V^-ggT&R^ = v/=i^(9pr^-9"r^) = ^gdp(^STpv-g"pST^).
Хотя символы Кристоффеля не являются тензором, так как преобразуются при
замене координат неоднородно, однако, в силу того же соотношения (3.19)
вариации символов Кристоффеля преобразуются по однородному закону:
лгА = лг'-9 - --
атдх'р дх" dxv и поэтому образуют тензор. Таким образом, величина
U^g^ST^-g"^
- вектор. Поэтому дивергенция dpUp, которая была записана в локально-
инерциальной системе, общековариантно выглядит так:
иР;р= 7=^^^)-
В итоге, последнее слагаемое в вариации действия (6.1) сводится к
интегралу от полной дивергенции f d4x dp(y/-gUp) и поэтому может быть
отброшено.
Чтобы определить константу К в полученной таким образом вариации
гравитационного действия
SSg = KsJ d4x^gR = К f d4x^~g (r^ - i g^Itj 6g*v, (6.3)
нам понадобится уравнение Эйнштейна с правой частью, с источником.
Поэтому найдем вариацию действия материи, скажем, на примере материальной
точки:
48Глава 6. Вариационный принцип. Точные решения
Последний интеграл по ds преобразуем с помощью очевидного тождества
.5(r-r(t)) я0 _ dt
и = ,
ds
к виду
Здесь
1 f Sg^dx^dx'' 1 f
rnJ = ~2mj
ds преобраз;
\ J i'x^i^VSg^ = ~\j <***•/="T-Sgf".
P(r W) = m^2i №4)
- общековариантная плотность массы, a
Г'"' = ри^и" (6.5)
- тензор энергии-импульса точечной частицы. И наконец, с помощью
тождества
T^Sgpv = TpTg?"g(tm)8gpv = -TpT^gpv8gTV = -T"v&gr находим
SSm=l J d4x^;TflJg^. (6.6)
Из соотношений (6.3) и (6.6) следует, что вариационный принцип
8{Sg + Sm) = О
приводит к уравнению Эйнштейна (4.1) (с нулевой космологической
постоянной) при условии
167Г к
Воспользуемся, кстати, соотношением (6.6), чтобы получить об-
щековариантное выражение для тензора энергии-импульса электромагнитного
поля. Ковариантное действие для этого поля выглядит так:
6.2. Гравитационное поле точечной массы49
Варьирование с учетом соотношения (6.5) и формулы (6.2) дает
Т - 2 дл/^Ьет 1_ (р р "Рт _ I " р ррт\ (й 7)
agp,v ~ 4тг V w у 10.1)
Вернемся к действию
s'=-vLI,i'x'/=~gR
с тем, чтобы исключить из него вторые производные. Слагаемые с
производными от символов Кристоффеля в подынтегральном выражении
^~gR = = v/=?sT( w., - д"т;р +
после интегрирования по частям и отбрасывания полных производных сводятся
к
-TiMV=gg"v) + г lMy/=-gg?v).
С учетом тождеств
dxV^g = х/~ё^\Р1 0Дч/=?йГ) = -V^ggpTr;T,
STa = STa + ГАт gTV + ГАт ffT = О
последнее выражение приводится к виду:
2^^(г^тг^-г^г;т).
Таким образом, действие для гравитационного поля после исключения вторых
производных выглядит так:
Sg = ~itk I dix^~8^vKrкР - г^г;т). (6.8)
6.2. Гравитационное поле точечной массы
Для решения задачи о поле точечной массы используем действие в форме
(6.8). Мы выразим подынтегральное выражение через компоненты метрики,
обладающей сферической симметрией, а затем получим уравнения поля
непосредственной вариацией действия по функциям, от которых оно зависит.
При этом нам не придется вычислять тензор Риччи, входящий в уравнения
Эйнштейна (4.1).
50Глава 6. Вариационный принцип. Точные решения
Как обычно, поместим источник в начало координат. Сферическая симметрия
задачи означает, что можно ввести координаты х\, жг, Жз так, что ds2
будет переходить в себя при преобразованиях, имеющих вид евклидовых
поворотов этих координат. Таким образом, мы отображаем трехмерное
физическое пространство в трехмерное евклидово. При этом вращения в
физическом пространстве отображаются во вращения в евклидовом
пространстве, которые оставляют инвариантной величину г = \/х\ + х2 + ж2.
В изображающем евклидовом пространстве нет разницы между ко- и
контравариантными векторами, так что использование координат ж", с
нижними индексами к противоречиям не приводит. Наряду с г = у/х?, из х и
dx можно построить еще два скаляра: dx2 и xdx. Поэтому в статическом
сферически-симметричном случае интервал может быть записан так:
С помощью замены переменных вида х -> f(r)x можно добиться, чтобы Ъ(г) =
1. И тогда сферически-симметричная метрика выражается через две
неизвестные функции от г:
При этом выборе системы координат пространственная метрика
такова, что элемент дуги окружности в плоскости в = ж/2 равен dl = = rdp,
т. е. длина окружности с центром в начале координат равна, как обычно,
2жг. Простые вычисления показывают, что в метрике (6.9) отличны от нуля
следующие компоненты символа Кристоффеля Трфи:
ds2 = a2(r)dt2 - b(r)dx2 - c(r)(xdx)2.
ds2 = a2(r)dt2 - dx2 - c(r)(xdx)2, g00 = a2(r), grnn = Smn - c(r)xmxn.
(6.9)
dl2 = dx2 + c(r)(xdx)2 = dr2 + r2(d62 + sin2 в dip2) + cr2dr2 = =
d2(r)dr2 + r2(d62 + sin2 в dp2), d2(r) = 1 + c(r)r2
Очевидно, g°° = 1/a2, так что
6.2. Гравитационное поле точечной массыЫ
Чтобы найти Гд0 и Г*й, рассмотрим величину gkmgmnxn¦ С одной стороны, в
силу тождества gkmgmn = Sk, эта величина равна хи- С другой стороны,
