Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
произвольной системе координат. Заметим для этого, что обычная
производная любого порядка вдоль геодезической совпадает с ковариантной,
так что вместо cPp^/ds2 можно писать D2!]11 /Ds2. Далее, поскольку в
нормальных координатах символ Кристоффеля на геодезической исчезает, то
э'г>' = -sf = "•
Поэтому во втором слагаемом в (3.53) можно сделать замену:
3"Г?Т"Т -"¦ (3"Г?Т - дтТ^)и\
Последнее выражение записано в нормальных координатах. А его ковариантная
форма такова: Лмр"тит. В результате приходим к следующему
общековариантному уравнению геодезического отклонения:
^+flVy"Y = o. (3.56)
Это уравнение описывает фактически приливные силы, действующие на систему
двух частиц в неоднородном гравитационном поле.
Глава 4
Уравнения Эйнштейна
4.1. Общий вид уравнений
Естественно принять, что общековариантные уравнения гравитационного поля
должны быть уравнениями второго порядка, а источником в них должен
служить тензор энергии-импульса Тм". Общая структура этих уравнений
такова:
aR^ + bg^R + c^v = T'*".
Из условия T^v.v = 0 и тождества (3.51) следует, что Ъ = -а/2. Таким
образом, приходим к уравнениям Эйнштейна:
R"v _ 1 g^R + Xgfiv = 87гкт^' (4Л)
Коэффициент 87Гк в правой части (к - ньютоновская постоянная)
обеспечивает, как будет показано ниже, согласие с обычным законом Ньютона
в соответствующем приближении. Так называемая космологическая постоянная
А, во всяком случае, чрезвычайно мала согласно экспериментальным данным;
поэтому последнее слагаемое в левой части уравнения (4.1) обычно
опускают.
Заметим, что если все же А ф 0, то космологический член в уравнении (4.1)
можно представить как эффективную добавку
-HV _ _ ^ "ни
8ттк
к тензору энергии-импульса материи Т7'". Эта добавка достаточно
своеобразна. В отличие от тензора энергии-импульса частиц, имеющих массу
покоя, для т111' не существует системы отсчета, в которой отлична от нуля
лишь компонента т00. В отличие от тензора энергии-импульса без-массовых
частиц, след т111' отличен от нуля: т? = -Х/2тгк. Разумеется, в локально-
геодезической системе т= - (\/8ттк)т]11''.
34
Глава 4. Уравнения Эйнштейна
В отсутствие материи T^v = 0, так что уравнения Эйнштейна (4.1) сводятся
к
= 0. (4.2)
Пространства, метрика которых удовлетворяет условию (4.2), называют
пространствами Эйнштейна. Уравнения (4.1) (в отсутствие космологической
постоянной) переписывают также в следующем виде:
R"" = 8тгк ^ . (4.3)
Уравнения Эйнштейна составляют по существу содержание классической общей
теории относительности.
4.2. Линейное приближение
В линейном приближении, gpV = r]pV + hpV, \hpV\ •С 1, тензор Риччи
выглядит так:
Rfj,v - 2 [(r)рд^Нцр -Ь O^dphjyp v & p3vhp^\.
Налагаем на метрику т. н. гармоническое условие
^ dvhpp = 0, (4.4)
аналогичное условию Лоренца дрАр = 0 в электродинамике. В этой калибровке
уравнение Эйнштейна в линейном приближении сводится к обычному волновому
уравнению (разумеется, для безмассового поля):
-°hpV = 16тгк (Тр" - ^ rjpuTxxj ¦ (4.5)
Так же как и в электродинамике, в линейном приближении можно не делать
различия между верхними и нижними тензорными индексами.
Рассмотрим случай, когда источником поля служит покоящееся тело плотности
р, т. е. единственная отличная от нуля компонента тензора энергии-
импульса - это Too = Р- Тогда
Ah оо = 8тткр
4.3. Снова электродинамика и гравитация
35
*оо(г) = -2k J
p(r')dr'
Ir-r'l
Таким образом, на больших расстояниях от гравитирующей массы М находим,
как и ожидалось,
J p{v')dv' = - ^ . (4.6)
2к Г , ,s , , 2кМ
Поо ---------
г
Остальные компоненты метрики вдали от гравитирующей массы таковы:
2 кМ
hoп - 0? hmn - $mn • (4*7)
Г
Разумеется, уравнение (4.5) имеет нетривиальные, волновые решения и в
отсутствие источников. Эти свободные решения описывают гравитационные
волны. Существование гравитационных волн - важное следствие ОТО.
4.3. Снова электродинамика и гравитация
В разделе 2.1 подчеркивалось сходство между электродинамикой и
гравитацией. Обратим теперь внимание на существенное отличие между ними.
Хорошо известно, что из уравнений Максвелла следует только одно,
скалярное условие сохранения электромагнитного тока, но отнюдь не
векторное уравнение движения заряда, которое имеет четыре компоненты.
Действительно, применив к = 4iг)" оператор dv, немед-
ленно находим d"jv = 0. Полученное уравнение непрерывности говорит о
движении заряженной частицы не так уж много: только то, что ее мировая
линия нигде не рвется.
Применим теперь оператор ковариантной производной D/Dxv к уравнению
Эйнштейна (4.1). В силу тождества (3.53) приходим к векторному уравнению:
T"v.v = 0. (4.8)
В отличие от закона сохранения тока четыре уравнения (4.8) полностью
определяют движение частиц. Продемонстрируем это на примере пыли - облака
точечных невзаимодействующих частиц малой массы, движущихся во внешнем
гравитационном поле. Тензор энергии-импульса пыли равен Т= pu^uv, где р -
инвариантная плотность энергии,
36
Глава 4. Уравнения Эйнштейна
