Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
множителя 3/2).
Если говорить о планетах Солнечной системы, то наибольшего эффекта
следует ожидать у Меркурия, поскольку радиус его орбиты наименьший.
Впрочем, и для него эффект ничтожный: формула (6.17) дает для смещения
перигелия Меркурия всего лишь 43,0" в столетие. Тем не менее
соответствующая, непонятная в то время аномалия в движении Меркурия, на
уровне 45" ± 5" в столетие, была известна астрономам до Эйнштейна. Ее
естественное объяснение было первым триумфом ОТО. Долгое время вращение
перигелия Меркурия оставалось единственным реально наблюдавшимся
нелинейным эффектом ОТО. В настоящее время это предсказание ОТО
подтверждается радиолокационными измерениями с точностью ~ 1%.
6.3. Прецессия орбит в поле Шварцшильда'э'э
Ниже приведены предсказания ОТО (первое число) и результаты измерений
(второе число) для других объектов. Единицы те же: угловые секунды в
столетие.
Меркурий: 43,03, 43,11 ±0,45.
Венера: 8,6, 8,4 ±4,8.
Земля: 3,8, 5,0 ±1,2.
Икарус: 10,3, 9, 8 ± 0, 8 .
Большой эксцентриситет орбиты астероида Икарус усиливает эффект (см.
формулу (6.17)), а также позволяет измерить прецессию с большей
точностью.
Можно ожидать, что в движении двойных звезд эффект окажется гораздо
большим, поскольку гравитационные поля в этих системах намного сильнее.
Действительно, тщательные исследования двойного пульсара PSR 1913±16 (PSR
означает пульсар, а цифры относятся к координатам на небесной сфере:
прямое восхождение 19ft13m, склонение 16°) показали, что в этой двойной
звезде периастр орбиты поворачивается на 4,2° в год. Кстати, таким
образом удалось определить с высокой точностью массы ее компонент: 1,442
М0 и 1,386 М0. Неудивительно, что вращение периастра здесь столь велико:
при массах компонент, сравнимых с массой Солнца М0, расстояние между
ними, 1,8 х 10е км, мало по сравнению, скажем, с радиусом орбиты
Меркурия, 0,6 х 108 км.
Задачи
6.3.1. Найти прецессию орбиты за счет релятивистской поправки в
притягивающем кулоновском потенциале.
6.3.2. Найти прецессию орбиты за счет релятивистской поправки в
притягивающем скалярном потенциале, считая, что он вводится в уравнение
РрРр = m2 путем замены m -" m ± ф.
56Глава 6. Вариационный принцип. Точные решения
6.4. Задержка луча света в поле Солнца
Эффект, рассматриваемый в этом разделе, линейный по rg и с такой точки
зрения должен был бы обсуждаться в предыдущей главе. Однако этот эффект
представляет интерес не только в связи с экспериментальной проверкой ОТО.
Его подробное рассмотрение весьма поучительно в смысле сравнения
шварцшильдовых и изотропных координат. Поэтому данный раздел помещен в
настоящей главе.
Итак, рассмотрим распространение сигнала из точки 3 (ri = = (xi,y)) в
точку В (гг = (а?2,у)) в гравитационном поле, которое создается массой М,
расположенной в точке С (го = 0) (см. рис. 6.1). Реально речь идет о
влиянии гравитационного поля Солнца на распространение радиолокационного
сигнала, посланного с Земли на Венеру. Отсюда и обозначения точек на рис.
6.1.
Рассмотрим задачу сначала в шварцшильдовых координатах. Для нашего случая
перепишем интервал (6.10) так:
Учитывая тождество dr = (г • dr)/г, легко находим отсюда в первом порядке
по rg:
Очевидно, задержка сигнала ДТ обусловлена двумя последними слагаемыми в
правой части этой формулы. Интегрируя их, находим, что время задержки
равно
*[width=0.69jfig61.eps
Рис. 6.1
ds2 = (l - dt2 - dr2 - ^ (l - 1 dr2 = 0.
\ Г ' г \ г /
ДТ = rg In
(6.18)
Напомним, что при рассматриваемом положении планет (см. рис. 6.1) xi < 0,
|a?i | > х2.
А в изотропных координатах имеем, соответственно,
6.4. Задержка луча света в поле Солнца57
(чтобы отличить продольную изотропную координату от продольной
шварцшильдовой, мы помечаем ее штрихом);
Нет ничего удивительного в том, что ответы (6.18) и (6.19) выглядят по-
разному: они записаны в разных координатах. Действительно, выражение
(6.19) можно получить из (6.18) непосредственно заменой переменных
(6.11).
Тем не менее возникает естественный вопрос: как сравнивать теорию с
экспериментом? Вопрос не праздный, т. к. нелогарифмическое слагаемое в
(6.18) хотя численно и невелико, но может быть вполне сравнимо с
экспериментальной точностью.
Ответ заключается в следующем. Времена вообще и периоды обращения планет
в частности измеряются в астрономии с гораздо лучшей точностью, чем
расстояния. Фактически, используемые точные значения расстояний
определяются из периодов обращения планет с помощью третьего закона
Кеплера. Как известно, орбиты и Земли, и Венеры близки к круговым. Так
вот, в шварцшильдовых координатах третий закон Кеплера для круговых орбит
справедлив, а в изотропных - нет. Таким образом, сравнивать с
результатами измерений следует именно формулу (6.18)1. А поправку на
конечный эксцентриситет орбиты нужно при необходимости вводить
дополнительно.
Результаты измерений задержки сигнала в поле Солнца для Венеры
согласуются с предсказанием ОТО в пределах точности, составляющей 3 - 4%.
