Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
прямое вычисление дает gmnxn = -{Smn + cxmxn)xn = -d2xm, так что gkmgmnxn
= -d2gkmxm. Отсюда ясно, что
gkmXm = - ^2Хк-
Теперь без труда находим, что
з _ QQ xi j _ Xi ( 1 с \
" d2 г ' jk ~ d2 V 2 г XjXk) '
Заметим, наконец, что в силу сферической симметрии задачи подынтегральное
выражение в действии достаточно вычислить в одной точке, х\ - т. Х2 = х%
= 0. В этой точке отличны от нуля лишь следующие компоненты
пространственной метрики:
gil = -d2, g22 = g33 = "I, g11 = --^p, g22 = g33 = "I
и символов Кристоффеля:
г° - 1 01 - a a ' Г1 1 00 aa = !р' Г^2 - Г1 - - 1 зз -
г с
г1 - 111 - г d? (с + \ с'г)= (d2y 2d2 43 1^ II
При подстановке этих выражений в формулу (6.8) слагаемые я00(ВДр-г^0г;т)
и взаимно сокращаются, а остальные члены дают
s' = -$Тк Id'x(adY 'i = -Yk j dtdr("d>'r (! - У) •
Удобно перейти теперь к новым независимым функциям: u = r( 1 - - 1/d2), w
= ad. Варьирование действия
/¦
Se= / dtdruw'
s 2 к
52Глава 6. Вариационный принцип. Точные решения
тривиально. Оно дает w = с±, и = сг- Возвращаясь к прежним функциям,
легко находим
Поскольку а2 входит в интервал ds2 только через a2dt2, то, меняя шкалу
времени, можно положить с± = 1. И наконец, вспомнив, что на больших
расстояниях от гравитирующей массы М goo = 1 - 2кМ/r, получаем С2 = 2кМ =
rg. Таким образом, мы приходим к метрике, полученной К. Шварцшильдом
(1916), для гравитирующей точечной массы:
dg2 = ^ _ 2^ _ 21 ^2 _ r2{df)2 + gin2 Мф2)' ло)
Заметим, что пространственная часть метрики (6.10) не переходит при г -"
ос в решение gmn = -8mn( 1 + 2кМ/r), найденное в разделе 4.2 для случая
слабого поля. Дело в том, что эти два ответа соответствуют разному выбору
радиальной координаты. Если положить в (6.10)
г = р(1+ ' (6Л1)
то мы получим такое выражение для интервала, в котором пространственная
метрика изотропна и отличается от евклидовой только общим множителем (т.
н. конформно-евклидова):
ds2 = dt2 - ^ [dp2 P2(dP2 + sin2 в dif>2)]. (6.12)
Очевидно, асимптотика этой метрики при г rg согласуется с найденной в
разделе 4.2.
Задачи
6.2.1. Найти поверхность вращения, на которой геометрия такая же, как на
"плоскости", проходящей через начало координат в решении Шварцшильда.
6.2.2. Получить преобразование координат (6.11), переводящее шварц-
шильдовы координаты в изотропные.
6.3. Прецессия орбит в поле ШварцшильдаЪЗ
6.2.3. Найти сферически-симметричное решение уравнений Эйнштейна с
космологической постоянной. Оценить ограничение на величину этой
постоянной, которое следует из того, что для Плутона (радиус орбиты этой
планеты ~ 1015 см) законы Кеплера справедливы с точностью, лучшей, чем
10-5.
6.3. Прецессия орбит в поле Шварцшильда
Снова простая оценка из соображений размерности дает для относительной
величины прецессии ~ rg/r, где г - характерный радиус орбиты. Иными
словами, за один невозмущенный оборот радиус-вектора (на угол 27г)
полуось эллиптической орбиты прецессирует на угол
6ф~^. (6.13)
Г
Количественное рассмотрение движения частицы начнем с уравнения,
связывающего ее энергию Е = ро с трехмерным импульсом р и массой т:
- m2 = 0. (6.14)
Для решения этой задачи удобно использовать изотропные координаты (6.12).
В случае диагональной метрики ее контравариантные компоненты g>11'
обратны ковариантным, так что явный вид уравнения (6.14)
здесь таков:
г,Цр\\г_(1+^у'(р, = ^ (6Л5)
1 - rg/Ap) \ 4р J \ р г2
Движение частицы в центрально-симметричном гравитационном поле, как и во
всяком центральном поле, происходит в плоскости, проходящей через центр.
В качестве этой плоскости мы выбрали плоскость 6 = 7г/2. Энергия Е и
орбитальный момент L - интегралы движения.
Здесь мы выйдем за рамки линейного приближения и учтем члены второго
порядка по rg/p. Умножив уравнение (6.15) на (1 + rff/(4p))4 и разлагая
полученные коэффициенты в ряд по rg/р, находим:
1'+2 7 + Т ?)Е'-('+ 7 + Ш(**'+ ?) ='(6'1е)
54Глава 6. Вариационный принцип. Точные решения
Положим далее Е = т + е, где е - нерелятивистский интеграл энергии, и
будем удерживать только члены не выше второго порядка по 1/с (с -
скорость света, которую мы здесь явно не выписываем). В возникшем таким
образом соотношении
2те + е2 + (т2 + 4те) - + | - (р2 + = О
р 2 р2 \ " г2)
можно отбросить е2 рядом с 2те, а также 4те рядом с т2 при rg/р.
Очевидно, ни та, ни другая поправка к прецессии орбиты не приводит.
Оставшееся выражение перепишем в виде
L2 \ ктМ 3 тг2
? ~ 2^ {Рр + ) ~р 4 ~fP~ '
Таким образом, задача свелась к движению в ньютоновском потенциале с
возмущением
cttv \ 3к2тМ2
Щр) =----------2-- •
Р2
Такой же результат дает рассмотрение задачи в метрике Шварцшиль-да
(6.10). Простой расчет (см., например, Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц,
Механика, §15, задача 3) показывает, что это возмущение приводит к
повороту большой полуоси а орбиты частицы на угол
37T7V 67Г км
4= п ё2Ч = -Г,----2Т 6Л7
а(1 - е2) а(1 - е2)
за один оборот. Здесь е - эксцентриситет невозмущенной эллиптической
орбиты. Наша исходная оценка (6.13) подтвердилась (с точностью до
