Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хриплович И.Б. -> "Общая теория относительности " -> 7

Общая теория относительности - Хриплович И.Б.

Хриплович И.Б. Общая теория относительности — И.: НИЦ, 2001. — 120 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 36 >> Следующая

в точке х1 = 0.
3.3. Снова символы Кристоффеля и метрический тензор
Ковариантная производная метрического тензора равна нулю. Действительно,
с одной стороны,
еТСЯ, - Г
дх'1 дх1
DA" = D(gltvAv) = Dgilv Av + gltv DA" .
А с другой стороны, как для всякого вектора,
DAд = gllv DA" .
Отсюда, в силу произвольности вектора А",
Dgfiv = 0, или gtlv.x = 0.
Явный вид последнего равенства с учетом (3.18) таков: ёцг* - 0.
(3.20)
22
Глава 3. Основы римановой геометрии
Переставляя индексы, получаем:
(r)vg\ [г Т'хфь' - 0, д и\ Гд1гУд - 0.
Теперь, помня о симметрии ГЙ1"д = Г^д,,, легко находим
га!/№ = ^ {dvgx" + dpgvx - dxg"v) (3.21)
и, соответственно,
= \ ёГХ (d"gXlt + д^х - dxg^). (3.22)
Таким образом, в римановом пространстве коэффициенты совпадают с
символами Кристоффеля (2.13), возникшими в уравнениях движения точечной
частицы, которые следуют из вариационного принципа (2.11). И это вполне
естественно. Сами эти уравнения (2.12), которые можно записать в виде
Du" = du" + T"xuK'dxx = 0,
являются, в соответствии с принципом эквивалентности, ковариантным
обобщением на риманово пространство обычных уравнений свободного движения
du^
du" = 0, или ------- = 0.
ds
Выведем полезное выражение для Г"". Из определения символа Кристоффеля
следует, что
Кц, = \ gtlX {dvgx" + d^gxv - dxg^) = ^ gtlX dvgx".
Метрический тензор g\м можно рассматривать как матрицу.
Проделаем
следующие преобразования с произвольной матрицей М:
(Jlndet М = lndet(M + SM) - lndet М = lndet [М~1(М + SM) =
= lndet(/ + M~1SM) =ln(l + Sp М_1<Ш) = §pM~18M.
Таким образом,
Sp M~xdvM = dv lndet M (3.23)
И
r^=7=^^- (3-24)
3.3. Снова символы Кристоффелн и метрический тензор 23
Приведем еще два полезных соотношения:
g^dxgftv = -f?vdxg^ (3.25)
= (3.26)
Ковариантное обобщение дивергенции вектора таково:
Афф = (3-27)
Отсюда, в частности, следует, что в римановом пространстве применение
оператора Даламбера к скаляру ф выглядит так:
ф^ = -j= {у/^ё^дгф). (3.28)
Теорема Гаусса имеет вид
I d4x V^A^ = j dSp уПАГ (3.29)
Еще одно полезное соотношение:
A".,v - Av;lt = д"А^ - d"Av. (3.30)
Для антисимметричного тензора А^ = -Avfl ковариантная дивергенция равна
A"v.v= ^=dvW=-gA"v). (3.31)
Кроме того, для него
Ацщ а + 4l"x;/i + A\KV = д\А^ + д^А^х + д^Ах^. (3.32)
Задачи
3.3.1. Доказать формулы (3.25)-(3.32).
24
Глава 3. Основы римановой геометрии
3.3.2. Является ли скаляром А = del;(ЯМ"), где Адг/ - тензор второго
ранга? Вычислить ковариантную производную А.
3.3.3. Вычислить символы Кристоффеля для цилиндрических и сферических
координат.
3.3.4. Выписать явный вид формул (3.27), (3.28) в цилиндрических и
сферических координатах.
3.3.5. Записать уравнения Максвелла в римановом пространстве.
3.4. Простая иллюстрация некоторых свойств риманова пространства
Наглядное представление о некоторых свойствах риманова пространства можно
получить на простейшем примере сферы. Рассмотрим на ней сферический
треугольник, фигуру, ограниченную дугами большого радиуса. Как
известно, дуга большого радиуса, со- [width-0.69jfig31.eps
единяющая две точки на сфере, - это " "
Рис. 3.1
кратчайшее расстояние между ними, т. е. геодезическая. Выберем в качестве
этих дуг участки меридианов, отличающихся на 90° долготы, и экватора (см.
рис. 3.1). Сумма углов этого сферического треугольника отнюдь не равна
7г, сумме углов треугольника на плоскости:
Заметим, что превышение суммы углов данного треугольника над ж может быть
выражено через его площадь S и радиус сферы R:
a + (3 + 7
3
г: я-
(3.33)
(3.34)
3.4. Простая иллюстрация свойств риманова пространства
25
Можно показать, что это соотношение справедливо для любого сферического
треугольника. Заметим также, что обычный случай треугольника на плоскости
также вытекает из этого равенства: плоскость может рассматриваться как
сфера с R ->• сю. Перепишем формулу (3.34) иначе:
Отсюда видно, что радиус сферы можно определить, оставаясь на ней, не
обращаясь к трехмерному пространству, в которое она погружена. Для этого
достаточно измерить площадь сферического треугольника и сумму его углов.
Иными словами, Ли К являются по существу внутренними характеристиками
сферы. Величину К принято называть гауссовой кривизной, она естественным
образом обобщается на произвольную гладкую поверхность:
Здесь углы и площадь относятся к малому треугольнику на поверхности,
ограниченному геодезическими на ней, а кривизна, вообще говоря, меняется
от точки к точке и является величиной локальной. И в общем случае, так
же, как и для сферы, К служит внутренней характеристикой поверхности, не
зависящей от ее погружения в трехмерное пространство. Гауссова кривизна
не меняется при изгибании поверхности без ее разрыва и растяжения. Так,
например, цилиндр можно разогнуть в плоскость, и поэтому для него, так
же, как для плоскости, К = 0.
На соотношения (3.35), (3.36) полезно взглянуть несколько иначе. Вернемся
к рис. 3.1. Возьмем на полюсе вектор, направленный вдоль одного из
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 36 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed