Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
массой М$ собирается в "наблюдаемую" массу
е2
М = М0+ - .
2 г0
А слагаемое -е2/(2г) в т(г) приводит к замене
М М---------
2 г
в метрике Шварцшильда (6.10), в результате чего возникает метрика
Райсснера - Нордстрема (6.27).
Эти рассуждения не просто приводят к правильному результату. Они верны по
существу, фактически отличаясь от первого, строгого вывода лишь тем, что
здесь мы с самого начала положили ad = 1.
Глава 7 Взаимодействие спина с гравитационным полем
Спином в этой главе обычно называется для краткости собственный,
внутренний момент количества движения классической частицы, не связанный
с ее движением как целого. В этом смысле можно говорить, например, о
спине гироскопа, находящегося на спутнике Земли (см. ниже раздел 7.2).
7.1. Спин-орбитальное взаимодействие
Обсудим взаимодействие спина частицы s с ее орбитальным моментом 1,
связанным с движением в центрально-симметричном гравитационном поле. Это
поле будем считать слабым, т. е. описывать потенциалом ф = -кМ/r, где,
как обычно, М - масса источника гравитационного поля. Нас интересует
здесь взаимодействие, линейное по спину s. А поскольку орбитальный момент
частицы 1 ортогонален ее радиус-вектору г и импульсу р, то спин-
орбитальное взаимодействие, будучи скаляром, должно быть пропорционально
(Is). Важно, что скалярное произведение (Is) двух аксиальных векторов -
истинный скаляр (а не псевдоскаляр), это необходимо в силу инвариантности
относительно отражения координат. Далее, в слабом внешнем поле спин-
орбитальное взаимодействие должно быть пропорционально величине этого
поля, т. е. кМ. После этого простые соображения размерности диктуют вид
обсуждаемого взаимодействия:
Vlt ~ (Is), (7.1)
тпс г6
где т - масса самой частицы.
Отметим соответствие между (7.1) и оператором спин-орбитального
взаимодействия в водородоподобном ионе с зарядом ядра Ze:
(")
66Глава 7. Взаимодействие спина с гравитационным полем
(здесь спин электрона s и его орбитальный момент 1 включают постоянную
Планка Н и имеют размерность действия, как и в нашей, классической,
задаче). Действительно, из сравнения ньютоновского взаимодействия kMm/r с
кулоновским Ze2/г (для зарядов Ze и - е), следует соответствие между кМт
и Ze2, а затем и между формулами (7.1) и (7.2). Более того, положительный
знак численной константы в формуле (7.2), происходящей фактически от
притягивающего кулоновского взаимодействия, позволяет полагать, что и в
гравитационном спин-орбитальном взаимодействии (7.1), происходящем от
ньютоновского притяжения, пока не найденный численный коэффициент будет
положительным. Так оно и есть на самом деле.
К сожалению, для того чтобы найти въявь этот коэффициент, требуются
довольно громоздкие вычисления1. Поэтому приведем здесь без вывода полную
формулу для гравитационного спин-орбитального взаимодействия (А. Фоккер,
1921):
V' = I ^1Гз (ls)' (7-3)
2 тс^г6
Уравнения движения для спина записываются через скобки Пуассона:
I =
Используя скобки Пуассона для компонент спина =
= -EijkSu (они должны иметь ту же структуру, что и для
компонент
орбитального момента), получаем
ds 3 кМ
dt 2 mc2r3
Таким образом, спин прецессирует с угловой скоростью
П=1^-з1- (7.4)
2 mczrA
1 Относительно экономный расчет описан в конце этой главы.
7.2. Спин-спиновое взаимодействие^!
Задача
7.1.1 Вычислить усредненную по периоду частоту прецессии спина частицы,
движущейся в гравитационном поле центрального тела по эллипсу с большой
полуосью а и эксцентриситетом е.
Указание. Удобно перейти от усреднения по времени к усреднению по углу ф
с помощью соотношений:
7.2. Спин-спиновое взаимодействие
Теперь речь пойдет о взаимодействии спина s пробной частицы со спином So
источника гравитационного поля. В линейном приближении So влияет лишь на
компоненты hon гравитационного поля источника. Заметим сразу, что gon =
Von + hon = Доп- Нетрудно показать также, что hon = h0n. Поскольку нас
интересуют здесь лишь эффекты, обусловленные собственным вращением
источника поля, то всеми остальными компонентами hмы пренебрегаем.
Попытаемся сначала угадать общую структуру вектора
Он входит в интервал ds2 в комбинации gondtdxn. Поскольку интервал не
меняет знак при обращении времени dt -> -dt и является истинным скаляром
(не псевдоскаляром), вектор g должен, вместе с dt, менять знак при
обращении времени и, вместе с dx11, быть полярным (не аксиальным)
вектором. Первое требование допускает пропорциональность g и So: спин,
подобно орбитальному моменту, при обращении времени меняет знак. Однако
спин - аксиальный вектор, поэтому в выражение для полярного вектора g он
должен входить в комбинации г х So, где г - радиус-вектор пробной
частицы. Далее, в приближении слабого поля g должен быть пропорционален
ньютоновской постоянной к. И тогда простые соображения размерности
подсказывают, что
dt dф (1 - е2)3/2 1 1 + ecos ф
Т 27г (1 + е cos ф)2 ' г а(1 - е2)
(7.5)
g- (hoi,ho2,ho3) - {goi,go2,go-s)-
г х s0
