Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
3.7).
Задачи
6.5.1. Найти радиусы круговых орбит в поле черной дыры (С.А. Каплан,
1949).
6.6. Гравитационное поле заряженной точечной массыб1
6.5.2. Найти сечение гравитационного захвата черной дырой
нерелятивистской (на бесконечности) частицы и первую неисчезающую
поправку по v/c к этому сечению {Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков, 1964).
6.5.3. Найти сечение гравитационного захвата черной дырой ультра-
релятивистской (на бесконечности) частицы и первую неисчезающую поправку
по I/7 к этому сечению (Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков, 1964).
6.5.4. Частица, имеющая на бесконечности скорость Voo < 1 и прицельный
параметр р = 2rg(l + S)/voo, <5 <gC 1, рассеивается на черной дыре и
снова уходит на бесконечность. Описать качественно движение частицы (Я.Б.
Зельдович, И.Д. Новиков, 1964). Чему равна ее скорость вблизи черной
дыры?
6.5.5. Ультрарелятивистская частица с прицельным параметром р = =
(Зл/3/2)г^(1 + 8), 8 1 рассеивается на черной дыре и снова
уходит
на бесконечность. Описать качественно движение частицы. Чему равна ее
скорость вблизи черной дыры?
6.5.6. Получить соотношение (6.22).
6.6. Гравитационное поле заряженной точечной массы
Поскольку любой, даже исходно заряженный астрофизический объект быстро
нейтрализуется окружающим веществом, случай заряженной звезды сам по себе
нереалистичен. Однако рассматриваемая задача представляет несомненный
методический интерес как достаточно простое, но нетривиальное обобщение
решения Шварцшильда.
И при наличии заряда у точечного источника, метрика, создаваемая им, по-
прежнему имеет структуру (6.9). Чтобы найти в этом случае функции a(r) и
с(г), займемся сначала полем заряда. Очевидно, магнитного поля у него
нет, как и в отсутствие гравитации. Для нахождения электрического поля
используем ковариантное уравнение Максвелла:
= <И"-
(6.23)
62Глава 6. Вариационный принцип. Точные решения
Явный вид левой части его нулевой компоненты таков:
F^= -±=dm(V^Fm0).
Что же касается правой части этой компоненты, то так же, как инвариантная
плотность массы задается формулой (6.4), инвариантная плотность заряда
равна
Соответственно,
? = Ре(г)И° = е .
Возникающее таким образом уравнение
dm(^-gFm0) = 4тге<Нг - r(*))
сразу решается с помощью теоремы Гаусса:
V^~gFr0=
Отсюда радиальное электрическое поле равно
For = ~Fr0 = ~ Щ= ^ = ad ^ . (6.25)
уГ~Е
Действие для электромагнитного поля в этом случае таково:
Se(tm) = ~ ^ J ^Xs/^gF^For = \ J dtdrr2 ^ Fqt .
Таким образом, полное действие здесь равняется (в тех же переменных u =
r( 1 - 1/d2) и w = ad)
S = Sg + Sem = - - I dtdr ( - uw' -
\Sdtir {\uw'- 44)¦ (6-2e)
Варьирование действия по метрике следует производить, фиксируя ко-
вариантные компоненты поля, в данном случае For, поскольку именно для них
исходное определение и в римановой геометрии, F= = dgAv - dvAg, не
содержит ни метрики, ни символов Кристоффеля.
6.6. Гравитационное поле заряженной точечной массыбЗ
Заметим также, что варьирование полного действия (включающего, наряду с и
Sem, также -e fAMdxM) именно по ковариантным компонентам Ац приводит к
уравнению Максвелла (6.23) в римановом пространстве.
Варьирование полученного действия (6.26) по и дает w' = 0, w = = с\. Как
и в случае решения Шварцшильда, примем с\ = 1, т. е. w = = ad = 1. Далее,
варьирование по w приводит к и' = kr2F2r/w2 = = fee2/г2, или и = r( 1 -
1/d2) = с-2, - ке2/г. Отсюда
2 __ л-2 __ -I С2 . fce2
& - U, - 1 - - Н- -~ .
Снова вспомнив, что на больших расстояниях от гравитирующей массы goo = 1
- 2кМ/r, получаем сг = 2кМ = rg. Таким образом, приходим к метрике
гравитационного поля заряженной точечной массы (Г. Райсс-нер, 1916; Г.
Нордстрем, 1918):
, о . 2кМ ке2'| 2
ds = ( 1------------b - I dt2-
2 кМ ке2
-1
- II- 1- -- I dr - г (dO + sin 0d(/> ). (6.27)
\ г г2 )
Радиусом горизонта служит здесь корень
ггп = кМ+ л/к^М2 - ке2 (6.28)
уравнения
2 кМ ке2 п
1 - + -- - 0.
Разумеется, из двух корней этого уравнения мы выбрали тот, который
переходит в rg = 2кМ при е = 0. Решение Райсснера - Нордстрема имеет
физический смысл лишь при е2 < кМ2. Заряженную черную дыру с е2 = кМ2
называют предельной.
Полезно привести иной вывод метрики Райсснера - Нордстрема, менее
строгий, зато наглядно поясняющий происхождение слагаемого ке2/г2 в
(6.27). Начнем с решения Шварцшильда (6.10). При наличии, наряду с
точечной массой Мо, распределенной массы т(г) естественно произвести в
выражении (6.10) замену
М Mq + т(г).
64Глава 6. Вариационный принцип. Точные решения
В данном случае т(г) есть не что иное, как электростатическая энергия
заряда е, заключенная внутри сферы радиуса г:
t \ f Л 2 F2r е2 Г dr е2 ( 1 1 \
т(г) = 47Г / dr г ------ = - / - = - I - - - I.
J 8тг 2 Jro г2 2 V г0 г)
Как обычно, электростатическая энергия классического точечного заряда
линейно расходится и, чтобы получить конечный ответ, приходится вводить
минимальное расстояние го- Возникшее таким образом слагаемое е2/(2го)
соответствует классической перенормировке массы и вместе с "затравочной"
