Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
100
P. JI. Хадсон, К. Р. Партасарати
с классическим броуновским движением. Однако аналогичное
рассуждение (или, эквивалентно, применение калибровочного
преобразования (2.13) с 9 = п/2) показывает, что точно так же (Pt: t
^ 0) является классическим броуновским движением. Поскольку они
не коммутируют между собой, а именно
[Qs, Pt] = 2isAt, (2.18)
броуновские движения (Qt) и (Pt) не могут быть совместно
диагонализованы или реализованы как классические случайные
процессы на одном и том же вероятностном пространстве.
Калибровочные преобразования не являются симметриями
классического броуновского движения. Одной из мотивировок для
введения квантового броуновского движения является возможность
использования калибровочных преобразований как симметрий.
Пусть (ф, (At)) и (Ф', (А\)) - два циклических квантовых
броуновских движения в гильбертовых пространствах |) и ()', и пусть
соответствующие изоморфизмы между К и L2(W,w) обозначаются D
и D'. Тогда D~lD' является изоморфизмом между и К который
отображает ф' на ф и сплетает А[ и At. Таким образом, любые два
циклических квантовых броуновских движения эквивалентны в
смысле существования такого сплетающего изоморфизма; в
частности, всякое циклическое квантовое броуновское движение
эквивалентно в этом смысле стандартному квантовому броуновскому
движению. Вообще для нециклического квантового броуновского
движения существует изоморфизм между его гильбертовым
пространством и тензорным произведением §0 (r) T(Z.2(R>0))
фоковского пространства на гильбертово пространство "начальных
значений" f)0, при котором вектор состояния отображается на <ро (r)
фо, где <j>0 - некоторый единичный вектор в а фо - фоковский
вакуум. Этот изоморфизм сплетает операторы данного броуновского
движения с операторами / <8> At, где (фо, (Л<)) - стандартное
квантовое броуновское движение.
В случае стандартного квантового броуновского движения (фо,
(At)) нетрудно доказать, используя сильную непрерывность по f
семейства операторов Вейля W(f), неприводимость этого семейства
и плотность в каждом (н конечных линейных комбинаций функций
х|0 s], 0 ^ s ^ i, что операторы As, s t, порождают алгебру Nt\
таким образом, Nt представляет информацию о движении до
момента t. Используя сведение к стандартному квантовому
броуновскому движению, мы можем перенести на произвольное
квантовое броуновское движение структуру, состоящую из алгебр
фон Неймана N и Nt, порождаемых всем движением и движением
Конструкция квантовых диффузий
101
до момента I и связанных соотношением (1.21), вместе с ото-
бражениями условных ожиданий Et из N на Nt, удовлетворяющими
(1.25) и (1.26).
Квантовое броуновское движение в форме пары (Qt, Pt: t ^ 0)
было введено в [3], где оно называлось "каноническим винеровским
процессом". Отметим, что нормировка коммутационных
соотношений в [3] отличается от принятой в настоящей работе.
3. ФОРМУЛА ИТО И ОБОБЩЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ ВЕЙЛЯ
Пусть (ф0, (At\ t^O))-стандартное квантовое броуновское
движение. Из (2.14) и (1.8) получаем для любых t ^ 0, / s: L2(R^o):
t
Atff = J f{x)dx^f, (3.1)
0
Это соотношение наводит на мысль о введении оператора dA.
--L' действие которого на экспоненциальные векторы, отвечающие
непрерывным f е L2(R^o), дается формулой dA.
Этот оператор не замыкаем, однако формальное соотношение
dAtyf = f(t)tyfdt (3.2)
подсказывает следующее:
Определение. Пусть (M(t): 0), (F(t): t ^ 0), (G(t):
t 0) и (H(t): t ^ 0)-семейства операторов в T(L2(R^o)) со
следующими свойствами:
a) Для любых t ^ 0, M(t), F(t), G(t) и H(t) принадлежат Nt
или, если они не ограничены, присоединены к Nt (мы говорим, что
эти семейства согласованы с (Nt: t ^ 0)).
b) Множество экспоненциальных векторов является серд-
цевиной для M(t), F(t), G(t) и Н (t), t ^ 0, т. е. каждый из этих
операторов является замыканием своего действия на линейные
комбинации экспоненциальных векторов.
Для произвольных /, geL2(R>o) и t^0 интеграл
t
(f(f)^('r) + <3(т)^(т)+ H(x))\Spg)dx
0
существует и равен (Ф/, М(0Ф*>-
102
Р. Л. Хадсон, К. Р. Партасарати
Тогда мы говорим, что М - стохастический интеграл,
t
М (/) = J (dA\F (т) + О (%) dAx + Я (т) dx). (3.3)
о
То же самое в дифференциальных обозначениях записывается как
М (0) = 0, dM = dA'F + GdA + Нdt. (3.4)
Пример 1. Для произвольной /eL2(R>o), поло
жим
ft = о, q; (3-5)
тогда
t t
a(ft)=\TF)dA%, a'(ft)=\dAy(x). (3.6)
0 0
Эта запись для полевых операторов была предложена в [3]. Пример
2. Для произвольной feL2(Rjso), 0, положим
(3.7)
Тогда Wt(f) является решением стохастического дифферен-
циального уравнения
dWt (/) = Wt (/) (dAff(t) -W) dAt - у | f (t) I2dt) (3.8)
с начальным условием Wo(f)~l. В самом деле, комбинируя
соотношение
Ч>а> = exp <fir, h) (3.9)
с (1.17), имеем
<ФЙ, Wt (/) фй) = exp | - y || ft ||2 - (ft, h) + (g, h + /*>}, (3.10)
откуда, дифференцируя,
-&<%• wt(fm(sV)f(t)~
-MMO-yl/WI2)- (3.11)
Пример 3. Для t ^ 0
