Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
о}, таким что для всех х, у е Т*1 функция
W(x)W(Vty)Q) (6.6)
продолжается до функции Gxy е А (Л(Р)), удовлетворяющей условию
Оху и + Ф) = (О, W (Vty) W (*) Q), и е R). (6.7)
Представление {<Ж, W, Q} является квантованием при нулевой
температуре, если (6.6) является граничным значением функции,
ограниченной и аналитичной в верхней комплексной полуплоскости.
Заметим, что условие (6.7) является фактически ограничением на
производящий функционал. Оно выполняется для функции Ср в
примере 6.3.
Применим сформулированное определение к линейной га-
мильтоновой системе Г0 из § 5. Пусть R& дается
соотношением
ОО
8)= $ 737^(со)'?(")¦!?' (Р>°);
- оо
оо
Ro(f, g)= J (r)f (">)*?
о
86
Дж. Т. Льюис, Г. Маассен
Лемма 6.2. Непрерывный функционал С : 9^С является
порождающим функционалом квантования системы Го при
температуре Р-1 тогда и только тогда, когда
C(f) = Y(f(0))-exp(-y/?p(f, ft),
где у: R->C -положительно определенная функция, у (0) = \, и 3 <=
(0, оо].
Доказательство см. в [17], [18]. ?
Нас будет интересовать только случай у - 1. Пусть {96$, -
квантование системы Го, отвечающее
Ср: f -*exp ( ^ R$(f, ft).
Пусть Фр получаются из соотношения
Гр(^) = ехр(аФр(/)), (leR).
Явная конструкция представления {5^р, IT'p, Qp} дана в [18].
Отображения Фр и Wр могут быть продолжены на 9'|Э, замыкание
91 по норме f)'k. Отображение Фр в кван
товой механике играет роль отображения ср из § 2. Например,
оператор координаты в момент t е R в квантовомеханической модели
Лэмба есть
($:=%{qt). (6.8)
Семейство удовлетворяет квантовому уравнению
Ланжевена
ОО
5 (Г - г\Г + Ф (0 Qt dt = Фр (/) л/2л. (f е 9>). (6.9)
- оо
С другой стороны, оператор момента не может быть определен
соотношением
поскольку pt<?9^ в силу расходимости интеграла
ОО 00
f I - / \ i2 ш da f 2цш2 a da
) j _ е-Э* - ) (ffl2_a)2+ 2ffl2 [ _ e-P" ~2л" '
- ОО -ОО
Физически это означает, что в квантовой версии
модели
Лэмба движение осциллятора настолько иррегулярно из-за
"нулевого" шума струны, что оператор скорости не существует.
В силу той же причины квантование возмущения, распро-
страняющегося по струне, которое в классическом случае
Гамильтоновы модели случайных процессов
87
имело вид wt = ф(х[0 t]), не задается семейством операторов {Фр
(Х[и о)}- Тем не менее будем называть Фр квантовым белым шумом.
Пусть теперь SWp = {Фр (/) |/<= Д'}" Временная эволюция
операторов W продолжается до группы "-автоморфизмов алгебры
Ш1р, а производящий функционал Ср определяет состояние озр : Л -
>- <Пр, ЛПр>.
Отметим, что квантовомеханическая версия процесса Орн-
штейна- Уленбека, определяемая соотношением (6.8), не является
марковским процессом. Во-первых, в силу несуществования
оператора импульса алгебра наблюдаемых в каждый момент времени
оказывается слишком узкой. Во-вторых, не существует условного
ожидания относительно алгебры "прошлого", порождаемой
операторами {Qf}t<0- Это обстоятельство является более серьезным,
так как оно отражает общую черту квантовых случайных процессов в
состоянии теплового равновесия [1].
Система {5Шр, ар, ор} обладает, однако, свойством сильного
перемешивания:
Лемма 6.3. Для всех ф <= Жр и всех М е
(ф, af (Л1)ф)->шр(Л1), (/ -> zt оо). (6.10)
Доказательство, данное в [18], опирается на тот факт что SWpQp
плотно в Ж$; соотношение (6.10) не выполняется для р = оо.
7. ПРИБЛИЖЕНИЕ К ТЕПЛОВОМУ РАВНОВЕСИЮ ДЛЯ
АНГАРМОНИЧЕСКИХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Пусть {X^<=R является решением квантового уравнения
Ланжевена с необязательно гармоническим потенциалом
оо оо
5 (f"(t)-Tlf'(t))Xtdt+ \ f(t)v'(Xt)dt = ^Ofi(f). (7.1)
- ОО -оо
Что можно в этом случае сказать о пределе
lim (ф, ехр(г'АХ*)ф), (феХ)? (7.2)
t оо
В соответствующей классической задаче, описываемой
уравнением (7.1) с ф вместо Фр, рассуждают следующим образом.
Процесс {Xt, Xt}tfsf> является марковским с фазовым
пространством R2, поскольку удовлетворяет стохастическому
дифференциальному уравнению. Вследствие этого временная
рролюция описывается полугруппой преобразований ца MHQ-
88
Дж. Т. Льюис, Г. Маассен
жестве всех плотностей вероятности в фазовом пространстве. Эта
полугруппа порождается уравнением диффузии Фокке- ра - Планка.
Если предположить, что потенциал v имеет ровно один минимум, то
существует единственная стационарная плотность вероятностей и
все другие распределения приближаются со временем к этой
плотности. Эта стационарная плотность оказывается плотностью
гиббсовского распределения, отвечающего потенциалу v (см.,
например, [23]). В этом смысле решение классического уравнения
Ланжевена приближается к тепловому равновесию.
В квантовом случае однако процесс не является марковским.
Вместо этого мы опираемся при доказательстве приближения к
тепловому равновесию на свойство сильного перемешивания (6.10).
Оно справедливо для гладких ограниченных возмущений,
сохраняющих выпуклость гамильтониана [18]. Благодаря свойству
