Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
t
A]At = J (dA* • A + Л+ • dA). (3.12)
о
Конструкция квантовых диффузий
103
В самом деле, из (3.1), для f, geL2(R>o)
AiAt*g)=w(At% At\)=
= ¦57-j \ fit)dr jjgCOdT j(ij5f, фй> =
= j J f (t) dx ¦ g (t) + f (t) J g (t) dx j ф2) =
= ?(0Фй> + <Ф/> f(t)At$g)=*
= (% (Aig(t) + W)At)Vg), (3.13)
откуда (3.12) получается интегрированием.
Как следует из (3.12) и аналогично доказываемой формулы
d (Л+ пАп) = <*Л+ ¦ mA+,m~l)An + Afm • nAn~l dA, (3.14)
квантовые стохастические дифференциалы могут вычисляться
согласно обычному правилу дифференцирования произведений без
появления поправок Ито, если только рее выражения нормально
упорядочены, т. е. операторы рождения предшествуют операторам
уничтожения [9]. Последний член в (3.8) можно рассматривать либо
как поправку Ито, либо как результат нормального упорядочения:
Wt {f) = exp j J (dA\f (t) - f (x) dAx) j = exp {a+ (ft) - a (ft)} = =
exp(a+(/,))exp(- a(/,))exp ( - -j-Ц ft ||2) =
= exp| ^ dA^f (t) j exp j ^ /(т)йЛт|ехр| - §|/(т)|2с(т j. (3.15)
В общем случае произведение стохастических интегралов является
стохастическим интегралом; если М0, No = 0 и
dM = dA*F + GdA + Hdt, (3.16)
dN = dA*J + KdA + Ldt, (3.17)
то
d(MN) = dAf (FN + MJ) + (GN + MK) dA +
+ (HN + ML+GJ)dt-, (3.18)
T. 6.
d(MN) = dM.N +M.dN + dM.dN, (3.19)
104
Р. Л. Хадсон, К. Р. Партасарати
где dM.dN вычисляется согласно билинейному распространению
правила, что произведения дифференциалов dAf, dA и dt
считаются равными нулю, за исключением того, которое не
является нормально упорядоченным, а именно
dAdA+=*dt. (3.20)
Пример. Используя (3.8) и (3.19), получаем
d{Wt(f)Wt(g)}=dWt(f)Wt(g)+Wt(f)dWt(g)+dWt(f)dWt(g)=
*=Wt(f)Wt(g){ dA] (f{t) + g(t))~ (,f(t) + g(t)) dAt -
-(т1/<0 \2 + \\g(t)? + W)g(t))dt}==
= wt (/) Wt(g){ dA\(f(t) + g(t))~ (ТШ+Ш)dAt -
~{\\f(t) + g(t)\2 + HmW)g{t))dt},
(3.21)
откуда
d exp (i Im (ft, gt)) W t (/) Wt (g) = exp (i Im (ft, gt)) ¦ Wt (/) Wt
(g)X x{dA](f(t)+g(t))-(f(t) + g(t))dAt-j\f(t) + g(t)\2dt},
(3.22)
так что соотношение Вейля
Wt(f)Wt (g) = exp(- i Im (ft, gt))Wt{f + g) (3.23)
следует из формулы Ито (3.19)
Полное доказательство формулы (3.19) слишком длинно (см.
[11]), и мы будем рассуждать эвристически ¦>. При этом равенство
нулю нормально упорядоченных произведений дифференциалов
будет следовать из (3.2), а (3.20)-из дифференциальной версии
[dA,dA*] = dt соотношения (2.3).
Оператор Вейля Wt(f) может быть представлен как непрерывное
произведение
Wt (/) = exp | ((dA'f - / dA) | = Д exp {dA*f - f dA} (3.24)
благодаря тому, что подынтегральное выражение коммутирует при
разных временах. На самом деле легко видеть, используя сильную
непрерывность W(f) по /, что если / не-
') Более краткое доказательство см. в [14*].-Прим. перев.
Конструкция квантовых диффузий
105
прерывна на [0,/], то Wt(f) является сильным пределом
п
^Ш = НтПехР{^(1Т1 *)(А1
<3-25>
Введем обобщения этого стохастического непрерывного про-
изведения
t
Wt (L, Ж) = П exp {dA^L -L*dA + 1Ж dx}, (3.26)
0
t
Wt (L, Ж) = П exp [dA^L -L^dA + 13% dx}. (3.27)
о
Здесь стрелки и ч- указывают, что сомножители упорядочены слева
направо или справа налево по возрастанию времени (направление
произведения (3.24) несущественно, поскольку сомножители в нем
коммутируют). Здесь L и Ж - операторнозначные функции времени
t, которые мы предполагаем согласованными с (АО), причем Ж
самосопряжен. Предположим далее, что L и Ж-непрерывные
функции в смысле равномерной топологии 5 (Г (L2 (R>0))). Как и
(3.25) , Wt(L, Ж) и Wt(L, Ж) определяются как сильные пределы
конечных произведений (которые определены согласно теореме 1.1)
П
Wt (L, Ж) = Игл П ехр { (^11 J L /) -
-L' (V- 0 (щ, - а±± )+гж (-^ 04-}. <з-28)
где обозначает или ч-. Они удовлетворяют стохастическим
дифференциальным уравнениям, обобщающим (3.8):
dWt (L, Ж) = Wt (L, Ж) (dA^L - LA d А(l2% - j L+Z.) dt)
(3.39)
dWt(L, Ж}= (dA^L - LA dAAr (}Ж - jL+l) dt) Wt{L, Ж).
(3.30)
Очевидно,
Wt(L, Ж? = $((-Ь, - Ж).
106
P. JI. Хадсон, К. Р. Партасарати
Каждое правое произведение может быть записано как левое (и
наоборот):
Wt(L, X) = Wt(W.(L, X)L(-)W.(L, Ж)~\ W.{L, X)X(-)W.(L,
МУХ\ (3.31)
Формула Ито эквивалентна обобщению соотношения Вейля (1.11)
вместе с (3.29) и (3.30), а именно
Wt(L, X)Wt(M, Ж) - Wt(L + М, Ж + Х-±-(ГМ-М*1))
(3.32)
Wt(L, X)Wt(M, tf)=Wt(L + M, Ж + X-^r(UM - MfL)j ,
(3.33)
где
L(t) = WTl(M, X)L(t)Wt(M, X), X(t)=WT\M, X)X(l)Wt{M,
X) (3.34) M(() = Wt(L, X)M(t) Wt{L, X)~\
X{t) = Wt(L, X)X(l)Wt(L, X)~\ (3.35)
Эвристический вывод (3.32) и (3.33) из определения (3.28.) может
быть основан на формуле Кемпбелла - Бэкера - Ха- усдорфа.
Квантовые диффузии строятся с помощью стохастических
интегралов (3.3) и обобщенных операторов Вейля (3.26) и (3 27), в
которых функции F, G, Н, L н X принимают значения в множестве
операторов в тензорном произведении Ьо (r) r(L2(R>o)) фоковского
пространства и некоторого произвольного гильбертова пространства
