Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовые случайные процессы и открытые системы" -> 43

Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовые случайные процессы и открытые системы — Москва, 1984. — 220 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviesluchaynostiprocessiiotkritie1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 78 >> Следующая

(III) da = p<M+ + jp2adt. (5.13)
Обратимся к общему случаю, когда F, G и Н - линейные
функции от а и а+. Из (4.26) следует, что
F = аа + Ра++ A, G = - аа - уа+ + р. (5.14)
Подставляя эти выражения в правую часть (4.27), видим, что (4.27)
может выполняться для линейной Н, только если результирующее
квадратичное выражение сводится к постоянной, т. е. коэффициенты
при а+2 и а+ (а также сопряженные коэффициенты при а2 и а) равны
нулю, а коэффи


Конструкция квантовых диффузий
117
циенты при а+а и аа+ взаимно противоположны. Налагая эти условия,
получаем
aft - ау = 0, (5.15)
аА -j- Л.р -(- yjx -(- ар = 0, (5.16)
I Р I - I Y I- (5-17)
Из (5.17) и (5.15) следует, что можно положить
Р = ге'е, у = re^ir О 0, 0 ^0, ф < 2зт), (5.18)
a = 4=tfeV*"<e-0) (R > 0). (5.19)
Минус в (5.19) можно устранить калибровочным преобразованием
At-*-At = e-inAt. (5.20)
Если теперь произвести калибровочное преобразование
At-+e-4,Hf>-*)Au а{-+е-Ч<"в+Щ, (5.21)
то коэффициенты а, р и у становятся неотрицательными ве-
щественными числами R, г и г соответственно. Условие (5.16)
принимает вид
Я(А + р) + г(А + Д) = 0. (5.22)
Рассмотрим отдельно случаи R=^ г и R = г. В первом
случае из (5.22) следует
А + ц = 0, (5.23)
и, следовательно, можно написать
F = Ra + ra+ + A = -G (5.24)
Далее, комплексное число
7?А /"А лг;\
2- ^>2 г2 (5.25)
удовлетворяет соотношению
Rz + rz = X, (5.26)
и, следовательно, замена переменных
a-+a - z (5.27)
(сохраняющая коммутационное соотношение (4.1) между а и его сопряженным) устраняет константу А из F и G. Применяя каноническое преобразование (5.9), находим, что пара
коэффициентов (R, г) преобразуется по закону
TMCh? 1?)Н- ("8)
\r ) \sn2x ch2x/ \r / v '


118
Я. Л. Хадсон, К. Р. Партасарати
Поскольку "нулевой" случай R = г пока исключается, пара (R, г)
может быть преобразована к одной из форм (0, р) или (р, 0), где р -
положительный параметр. Соответствующие канонические формы IV
и V уравнения (5.1) имеют вид
(IV)
da = p(dAW-a*dA) + -?-adt, (5.29)
(V)
da = p(dA+a - adA) - -?-adt. (5.30)
Здесь Н выбиралось линейной функцией, чтобы удовлетворить
условию (5.27) для данных F и G; любой другой выбор Н должен
отличаться от этого на слагаемое гамильтонова вида i [Ж, а].
Рассмотрим теперь случай R - r. Если R и г равны нулю, то мы
возвращаемся к уже рассмотренному скалярному случаю; если нет, то
из (5.22) следует, что вещественные части X и р взаимно
противоположны, так что F и G могут быть записаны как
F = р(а + а+) + w + ш, G - - р(а + а+) - w - iv, (5.31)
где ш, и, v вещественны. Замена переменной вида (5.27), где
z = yp-1a>, устраняет W-. Каноническое преобразование вида
(5.9), при котором а + а+ умножается на е*, переводит р в единицу (с
другой стороны, его можно использовать для классификации
коэффициентов (и, v) в (5.31), как в случаях I, II, III). Таким
образом, в этом случае (5.1) приводится к шестой и последней
канонической форме
(VI) da - dA+ (a -f а+ -f iu) - (а + а+ + iv) dA
+ y(u2 - v2)adt. (5.32)
Каждый из этих случаев допускает явное решение. Введем
обозначения
Q = A+A*t P = - i(A - A% (5.33)
<7 = а + а+, p = - i(a - aA). (5.34)
Тогда решения уравнений (5.11), (5.12), (5.13), (5.30) и
(5.31)находятся соответственно по формулам
(I) qt = q0 + 2pQf, Pt = p0, (5.35)
t
(II) at = e~wtaQ + p $ e~W(i~x) dAx, (5.36)
0
t
(III) Of = eVapI a0 + P 5 eW(t-x)dA\, (5.37)
о


Конструкция квантовых диффузий
119
/qt\ ( ch pPt - shpPA/<70\
<IV> UM-shpP,- Chpp,)("")¦ <5-38"
(V) at = a0e~ipPt, (5.39)
(VI) qt = ehW-'")iq0 +
+ (u + v) J e4i (uW) {t~x) dPx, (5.40a)
0
Pt = e'lliu'-v2)t(Po~<l0Pt) +
+ (u-v) \e'U(u7-v2){t~x)dQx
0
t T
- (и - o) J J eh [u2~v2) {t~a)dPa dPx. (5.40b)
о 0
Оператор L, для которого выполняются (4.28) и (4.29) с Зё - 0,
дается выражением
(I) L = ipp, (5.41)
(II) L = ря, (5.42)
(III)
L = -ра+, (5.43)
(IV) L = -у р (qp +
pq), (5.44)
(V) L = -ра+а, (5.45)
(VI) L = - 4- Я2 + iva - Lua?. (5.46)
В случае I оператор L является кососамосопряженным, тогда как в
случаях IV и V - самосопряженным, благодаря чему в этих случаях
уравнение (4.43) для соответствующего унитарного процесса U имеет
простое решение. Например, в случае I формула (4.43) принимает вид
dUt = Ut (ф/MQ P&t) . (5.47)
а решение дается формулой (напомним, что Q является классическим
броуновским движением, для которого имеет место обычная формула
Ито (dQ)2 = dt)
(I) Ut = ?ipp°QK
(5.48)


120
P. Jl. Хадсон, К. Р. Партасарати
Аналогично, в случаях (IV) и (V) находим
(IV) Ut - ехр (-у-(<7оР0 + Ро^о) ?t) ¦ (5.49)
(V) Ut = ехр (ipaoa0Pt). (5.50)
В случае II унитарный процесс (Ut) явно строится сле-
дующим образом. Рассмотрим пространство ()о начального
значения а(0> как фоковское пространство над С, ()о
= Г(С),
причем а(0) = а(1). Тогда
1)0 (r) Г (L2 (R>0)) = Г (С (c) L2 (R>0)). (5.51)
Для любого (eL2(R>o) имеем
ехр {р (а<0) (r) а+ (/) - aw + (r) а (/))} = Г (V (/)), (5.52)
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 78 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed