Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
= dA' {[F, a'] + [a, G']} + {[G, a'] + [a, F']} dA +
+ {[H, a'] + [a, H'] + GG' - F'F) dt, (4.25)
где было использовано, что а и а', будучи согласованными,
коммутируют с дифференциалами dA' и dA, направленными в
будущее. Приравнивая коэффициенты при дифференциалах dA', dA и
dt к нулю, получаем ограничения на F, G и Н, обобщающие (4.5)
[F, аЧ+[а, G+] = 0, (4.26)
110
Р. Л. Хадсон, К. Р. Партасарати
сопряженное уравнение, и
[Я, а+] + [а, Я+] = Я+Я - G+G. (4.27)
Нетрудно проверить, что эти уравнения удовлетворяются, если
положить
F = [L, a], G = [a, L+], (4.28)
Н = 1[Ж, a\-j(L^La-2L^aL + aL^L), (4.29)
где L - произвольный многочлен, а Ж = Ж1* - формально
самосопряженный многочлен от а и а+, оба, возможно, зависящие от
времени. На самом деле это есть общее решение:
Теорема 4.1. Пусть F, G и Н - многочлены от переменных а и
а+, удовлетворяющие (4.26) и (4.27). Тогда существуют многочлены
L и Ж, причем Ж формально самосопряжен, такие что F, G и Н
даются соотношениями (4.28) и (4.29).
Доказательство. Покажем сначала, что F и G могут быть
выражены в форме (4.28). Полагая
F=Zamncfiman, G=?pm"a+"*a"f (4.30)
m, п m, п
получаем из (4.26)
(s + l)ars+i -f- (г + l)$r+is - 0> r,s = 0, 1 (4.31)
Положим
L== - Z т?т+та*т+1аП- <4-32)
ТПу п
Используя (4.31)
цгга*пап+1, (4.33)
т, п
так что
i+ = Z 7f7at"+'flm' (4.34)
т, п
Из (4.32) и (4.34) ясно, что F и G даются соотношением (4.28).
Если F и G даются соотношением (4.28), то
Н' = - у (Я+Яа - 2ЯаЯ+ + аЯ+Я) (4.35)
удовлетворяет (4.27), а разность Н - Н' удовлетворяет со-
ответствующему однородному уравнению
[Н-Н', a+] + [fl, (Я-Я')+] = 0. (4.36)
Конструкция квантовых диффузий
111
Но, как мы видели при выводе (4.6) из (4.5), из этого следует, что
Н - Н' - i [Ж, а], (4.37)
где Ж = Ж^, так что Н дается соотношением (4.25). ?
Отметим, что пара (L, Ж) определяется по F, G и Н не-
единственным образом, а может быть преобразована по формуле
(L, Ж)->(ь+{, Ж- i-(fL-L^f) + е), (4.38)
где / и е - числа, причем е вещественно.
Используем теперь представление (4.28) и (4.29) коэффициентов
F, G и Н для формального построения решения уравнения (4.21). В
самом деле, предположим, что решение существует, и пусть Ut -
унитарный оператор
Ut = Wt(L,W), (4.39)
так что, согласно (3.30), и обобщая (4.13),
dUt = ( dA^L - IS dA + (j3(r) - ~ SL) dt) Ut. (4.40) Тогда, если
at = Uta0Ul (4.41)
т. e.
atUt~Utaa, (4.42)
аналогично (4.11) и (4.12), мы имеем по формуле Ито da = dVaJJ* +
Ua0 dU+ + dUa0 dW = (d, A*L - ISdA +
+ (iM - {i+l) dt)a + a{ - dA^L + IS d A -
- (1Ж + у Sb) dt) + SaL dt = dA+ [L, a] + [a, IS] dA +
-f (t [2(r), a] - у (L+Z.a - 2SaL + aSL)) dt =
= dA'F + G dA + H dt.
Таким образом, at, даваемое формулой (4.41), является решением (4.21)! Конечно, (4.16) имеет место в этой новой
ситуации, так что вместо (4.40) можно написать
dUt = Ut (dA'L0 - L\ dA -f (i^o - у ^o) dt) , (4.43)
эквивалентно вместо (4.39)
V( = Wt(LQ, (4.44)
112
Р. Л. Хадсон. К. Р. Партасарати
Заметим, что L0 и Жо- операторы во вспомогательном пространстве
Ь".
Неединственность (4.38) пары (L,3@) можно рассматривать как
стохастическое обобщение неединственности гамильтониана,
обусловленной произволом в выборе нулевого уровня энергии. Из
(3.33)
Wt(L + f,3(r) + e-±(fL-fL'j) = Wt(L, Ж) Wt(f, е).
¦4т
Оператор Wt(f, е) с точностью до фазового множителя совпадает с
оператором Вейля / (r) W (ft) и коммутирует с а0 = = а(0) (r) /. Таким
образом, действие на а0 операторов
Wt^L-\-f, Ж + е~ y(/Z. ~ /?+)) приводит к тому же резуль-
¦4т
тату, что и действие Wt(L, Ж), как и следовало ожидать.
Отметим, что в отличие от детерминистического случая, даже
если коэффициенты F, G и Н из (4.21), и значит, L
и Ж не зависят явно от времени, (Ut) не
является полу-
группой
U SU t 7^ S+t-
(4.45)
Соответствующие операторы эволюции
Ust = UtU7l, s<t,
(4.46)
удовлетворяющие соотношению
UstUrs = Urt, r<s<C
(4.47)
могут быть выражены формулой
t
Ust = П ехр (dA^Ls - LsdA + гЖ),
(4.48)
и сплетают at при разных t:
UstOs atUst, s /.
(4.49)
Семейство операторов
Ust = U71Ui
(4.50)
задает обратную эволюцию
UrsUst = Urt,
(4.51)
и может быть выражено формулой
t
Utt = U.txp(dA^L0 - L0dA + iSlSodt), s<C (4.52)
S
Квантовая диффузия может быть определена формально как
процесс (at: t^O), удовлетворяющий стохастическому
Конструкция квантовых диффузий
113
дифференциальному уравнению вида (4.21); мы показали
формально, как строить соответствующий унитарнозначный
процесс, с помощью которого исходный процесс выражается по
формуле (4.41). Однако, как уже отмечалось, существование
унитарного процесса, отвечающего операторам L0 и Жо, было строго
установлено в случае, когда они ограничены [11]. С этой точки
зрения более естественно определить квантовую диффузию по
формуле (4.41) в терминах соответствующего унитарного процесса и
рассматривать (4.21) как чисто формальное выражение, подобно
