Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовые случайные процессы и открытые системы" -> 42

Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовые случайные процессы и открытые системы — Москва, 1984. — 220 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviesluchaynostiprocessiiotkritie1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 78 >> Следующая

тому как уравнение Гейзенберга (4.10) следует рассматривать как
формальное из-за трудностей с областями определения,
возникающих для реалистичных неполиномиальных гамильтонианов.
Квантовая диффузия порождает полугруппу отображений в
банаховом пространстве В(Ы- Отождествим В(|)о) с В(10)<8>/ и
определим для любого t ^ 0 отображение Jt
в В (К)) формулой
Jt(X) = Eo[UtXUr1], t> 0. (4.53)
Тогда, используя (4.50), (1.25) и (1.26), получаем для
s.t^O,
Js+t (X) = Ей = E0ES [UsUss+t ¦ XU7s+tU7l] =
= Eo[UsEs[U ss+tXU7s+t] U7l]=JsJt(X), (4.54)
где мы использовали (4.52) и тот факт, что квантовое броуновское
движение начинается заново в момент s, чтобы получить
Es [Us. s+tXU7ls+t] = Ео [UtXUT1] = Jt (X).
Таким образом, (Jt\ 0) является полугруппой, как утверж
далось. Поскольку условное ожидание Е0 и пространственный
автоморфизм Ut • U71 являются вполне положительными
отображениями, эта полугруппа состоит из вполне положительных
отображений. Ее инфинитезимальный оператор находится с помощью
вычислений, использующих формулу Ито
dJt(X)=Eo[d (UtXUT1)] =
= EbEt [Ut { (dA*L0 - LI dA + (iM0 - 1 L+L0)dt) X +
+ X(- dAfL0 + L0dA- {Ж, + ± L+L0) dt) + L^XL0} U;1] =
= (i [3V0, X] - j LJ V + LIXL0 - IXLIL0) dt.
Отсюда Jt = et?, где
1 v , + l


114
P. JI. Хадсон, К¦ Р. Партасарати
Это следует сравнить с общей формой инфинитезимального
оператора равномерно непрерывной полугруппы вполне по-
ложительных отображений в В( J)0):
2 (X) = i [ЯВ0, X] - | ? (LfLfX - 2L)XLS + XL]L,). (4.56)
i
Ясно, что, вводя независимые квантовые броуновские движения,
отвечающие каждому члену в сумме, можно построить
стохастическое расширение этой полугруппы.
Другая полугруппа сжимающих операторов в f)o получается по
формуле
Tt - Е0 [Ut]. (4.57)
В самом деле, используя (4.50), (1.25), (1.26) и обновляющее
свойство квантового броуновского движения, имеем для s, t ^ 0
Ts+t = Д> Д+1\ = EQES [Usiis+t] = E0 [UsEsUs+t] = E0 [UJA-TJt.
(4.58)
Инфинитезимальным оператором этой полугруппы является i26a - -j
- как ВИДН0 из формулы
dUt = Ut (<MU3 -LldA + (i2%0 - ЦЕ()) dt) , (4.59)
если взять условное ожидание, отнесенное к нулевому моменту
времени.
Если квантовая диффузия такова, что процесс qt = atJrd\
коммутирует с собой при разных временах, то имеет место аналог
формулы Фейнмана - Каца для возмущений этой полугруппы,
именно для неотрицательного потенциала V
ехр (/ (И80 - \ L+L0 - V (<70)) = Е0 ^ехр |- $ К (?,) dx j Ut j.
(4.60)
В самом деле, при сделанном предположении можно написать
Е0 ?ехр | - J K(^)^|t/s+,j = ?0?^exp|- $ V(qx)dx^X
Xехр |- J И?,)^|^Д.*+<|==ВД Jexp j- jV(gx)X
( s"*"< 1 X ехр | - 5
V(U7'qxUs)dxUs,s+t J =


Конструкция квантовых диффузий
116
= Е0 j^exp | ^ (<7Х) dx | Us X
5 "j- i
X Es J^exp | - ^ K(C/s,T<7ot?7x)rfT|f7s,s+tj j =
= E0 j^exp | - jV (<7T) dx | Us X
X E0 j^exp | - ^ К (Uxq0Uxl) dx j Ut j j =
-= E0 j^exp | - ^ V (qx) dx j Us j • E0 j^exp | - ^ V (qx) dx | Ut j ,
(4.61)
откуда следует, что правая часть (4.60) является сжимающей
полугруппой. Вычисление с помощью (4.59) инфините- зимального
оператора показывает, что эта полугруппа совпадает с левой частью
(4.60).
б. КОНСТРУКЦИЯ КВАНТОВЫХ ДИФФУЗИЙ - СЛУЧАЙ ЛИНЕЙНЫХ
КОЭФФИЦИЕНТОВ
В этом разделе мы рассмотрим квантовые диффузии
da = dA'F + G dA + H dt, (5.1)
в которых каждый из коэффициентов F, G и Н является линейной
функцией вида аа+Ра+ + у. Для простоты рассмотрим только
автономный случай, когда а, р, у не зависят от времени.
Начнем со случая, когда F и G - скаляры
F = kl, G = \il, К, ЦЁС, (5.2)
заметив, что ограничение (4.26) на F и G при этом выполняется и что
второму ограничению (4.27) можно удовлетворить, положив,
например,
Я = 4(т2-|ц|2)а. (5.3)
Тогда (5.1) и его сопряженное принимают вид
da = XdA' + \idA +i-(\k \2 - | ц \2)adt, (5.4)
daF = (i dA' + I dA + j- (| k |2 - | ц |2)a+ dt. (5.5)


116
P. Jl. Хадсон, К. Р. Партасарати
Произведем над квантовым броуновским движением калибровочное
преобразование
At->e-i6At, (5.6)
и соответствующее преобразование процесса
а->-е~1фа (5.7)
(сохраняющее бозонные коммутационные соотношения (4.1)).
Полагая
0 = Y (аг6 ^ ~ аг? Iх)' ^ - у (ar6 ^ + аг6 Iх). (5.8)
мы переводим уравнения (5.4) и (5.5) в уравнения того же типа, но с
вещественными и неотрицательными X и р. Рассмотрим теперь
действие линейного канонического преобразования
{ а \ С chx sh х\(' а \
Ubu* chxAJ' (5-9>
которое также сохраняет соотношение (4.1). Коэффициенты
преобразуются ковариантно:
CMZ Ж-
Таким образом, в зависимости от выполнения соотношений X - (х,
А<р или А > р пара (А, р) может быть преобразована подходящим
выбором % к одной из трех форм: (р, р) ("нулевой"), (0,р)
("времениподобной") или (р,0) ("пространственноподобной"), где р
- неотрицательный параметр. Соответствующие канонические
формы (5.4), которые мы
обозначим как формы I, II и III, имеют вид
(I) da = p(dA + dA*), (5.11)
(II) da - pdA -^p2adt, (5.12)
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 78 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed