Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
квантовомеханическим аспектам. Имеется математически строгая
версия настоящего изложения, [11], основанная на классическом
стохастическом дифференциальном исчислении, однако она слишком
длинна для включения в этот сборник 1J.
В разд. 1 мы напоминаем основные понятия бозонного
вторичного квантования в фоковском пространстве, необходимые
для дальнейшего. В разд. 2 вводится квантовое броуновское
движение и объясняется его связь с классическим броуновским
движением. В разд. 3 мы вводим стохастические интегралы и
показываем, в частности, что квантовое обобщение формулы Ито для
стохастических дифференциалов произведения является в то же
время обобщением вейлевского коммутационного соотношения. В
разд. 4 мы определяем квантовые диффузии и устанавливаем их
основные свойства. В разд. 5 анализируется случай, когда все коэф-
фициенты основного уравнения (0.1) линейно зависят от своих
переменных, так что уравнение допускает явное решение и описание
всех интересных объектов, в частности операторов стохастической
эволюции.
1. ФОКОВСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
Фоковское пространство Г(1)) над гильбертовым пространством
|) определяется как бесконечная прямая сумма гильбертовых
пространств
оо
Г(Й=0П (1.1)
л=0
где (>(0) = Ci и (>(п) для п 1 является подпространством n-кратного
тензорного произведения гильбертова пространства на себя,
состоящим из всех симметричных тензоров
$<"> = ($(r) ... (r) D)sym. (1.2)
Для любого /е(> соответствующий экспоненциальный вектор,
или когерентное состояние, определяется как вектор в Г(1)) вида
i|>f = (l, /, (2!ГУ7 (r)/, (3!)-v7 (r) / (r) /, ...); (1.3)
в частности, вакуумный вектор
Фо = (1, о, 0, 0, ...). (1.4)
') См, также [14*]. - Прим. перев.
Конструкция квантовых диффузий
95
Экспоненциальные векторы образуют полное семейство в Г(f)) [4].
Фоковское пространство Г(f)i ф 1>2) над прямой суммой
гильбертовых пространств естественным образом отождествляется с
тензорным произведением фоковских пространств над каждым из
слагаемых,
Г(5,(r)У = г(5.)(r)г(и (1.5)
так что для любых f\ е /2 е 1)2
Используя тот факт [4], что экспоненциальные векторы линейно
независимы, определим оператор Вейля W(f), отвечающий
элементу / е 1>, как единственный унитарный оператор в Г(1)), такой
что
W(f)% = exp\-±\\ftf-(f, g)}%+f (/, geft. (1.7)
Оператор уничтожения a(f) и оператор рождения я+(/) являются
взаимно сопряженными операторами, которые получаются как
замыкания операторов, чье действие на конечные линейные
комбинации экспоненциальных векторов определяется из
соотношений
= g)% (1.8)
= о (Ue &)• (1.9)
Вторичное квантование сжатия Т в I) определяется как сжатие Г (Г)
в Г(1>), для которого
Г(т? = фг? (/si). (1.10)
Введенные операторы обладают следующими свойствами:
a) W(/) W(g) - exp{-i Im </, g>} W(f g) (1.11)
(соотношение Вейля);
b) является сильно непрерывным отображением I) в
В(Г(1>)), и семейство операторов яв
ляется неприводимым;
c) оператор а+(/) - а(/) является в существенном косо-
самосопряженным и
W(f) = exp{a*(f)-a(f)}. (1.12)
d) а+(/) зависит от f линейно, a a(f) антилинейно, причем на
общем инвариантном подпространстве, состоящем из конечных
линейных комбинаций производных экспоненциальных векторов
конечных порядков, они удовлетворяют инфи- нитезимальной форме
соотношения (1.11), а именно
и/), a(g)] = [a4f), аЦё)] = 0, (1.13)
[а (/), (?)] = </. ?>: (1.14)
96
P. Jl. Хадсон, К¦ Р¦ Партасарати
e) функториальные свойства вторичного квантования-.
Г (ST) - Г (S) Г (Т), (1.15)
Г (Т'+) = Г (Г)+, (1.16)
г (/)==/, (1.17)
где / - единичный оператор;
f) a(f) Г (Г) = Г (T)a(Tff).
(1.18)
Преобразование Боголюбова - это вещественно-линейное
преобразование Т в 1), сохраняющее мнимую часть скалярного
произведения
lm(Tf,Tg)=lm(f, g). (1.19)
Если существует унитарный оператор U в Г(1)), такой что для всех /
е t)
UW(f)U~l = W(Tf),
то мы говорим, что U реализует преобразование Т\ в этом случае U
единствен с точностью до фазового множителя. В частности, всякий
унитарный оператор в I) является преобразованием Боголюбова,
которое реализуется его вторичным квантованием.
Для краткости мы опускаем доказательство следующей теоремы,
обобщающей утверждение о существенной кососа- мосопряженности
операторов (/) - a(f),
Теорема 1.1. Пусть L0 и Ж§- ограниченные операторы в
гильбертовом пространстве J)0, причем Ж0 самосопряжен. Пусть f
- произвольный вектор гильбертова пространства I). Тогда
следующий неограниченный оператор в ()0(r)Г(1))
Т = L0 (r) (/) - LJ (r) а (/) + 1Жй (r) /, (1.20)
областью определения которого является алгебраическое тен-
зорное произведение (j0 и множества конечных линейных ком-
бинаций производных экспоненциальных векторов конечных
порядков, является в существенном кососамосопряженным. Более
того, для любого фе|0 и ge I) ф (r) фё является аналитическим
вектором для Т.
В оставшейся части этого параграфа I) является гильбертовым
