Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовые случайные процессы и открытые системы" -> 35

Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовые случайные процессы и открытые системы — Москва, 1984. — 220 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviesluchaynostiprocessiiotkritie1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 78 >> Следующая

to equilibrium, Thesis, Groningen State University, 1982.
19. Nakazawa H. Preprint, Dublin Institute for Advanced Studies, 1983.
*) Звездочкой отмечена работа, добавленная при переводе. - Прим. перев.


Квантовые случайные процессы
91
20. Neveu A. Processus Aleatoires Gaussiens. Faculte de Sciences, Universite de
Montreal. Publication du Seminaire de Mathematique Superieure, 34 (1968).
21. Schwabl F., Thirring W. Quantum Theory of Laser Radiation, Ergebn. Exakten
Naturw., 36 (1984), 219-242.
22. Thomas L. C. Thesis, Oxford 1971.
23. Tropper М. M. Ergodic and quasideterministic properties of Finite-Dimensional
Stochastic Systems, Journ, Stat. Phys., 17 (1977), 491-509.
24. Uhlenbeck E., Ornstein L. S. On the theory of the Brownian motion, Phys. Rev., 36
(1930), 823-841.
25. Винер H., Пэли P. Преобразование Фурье в комплексной плоскости. - М.:
Наука, 1964.
26*. Maassen Н. Return to thermal equilibrium by the solution of a quantum Langevin
equation, J. Stat. Phys., 34 (1984), 239-261.


КОНСТРУКЦИЯ КВАНТОВЫХ ДИФФУЗИЙ ?>
Р. Л. Хадсон
Отдел математики, Ноттингемский университет, Ноттингем,
Великобритания
К. Р. Партасарати Индийский статистический институт, Нью-
Дели, Индия
О. ВВЕДЕНИЕ
В этой работе мы исследуем квантовые стохастические
дифференциальные уравнения вида
da = dA+F + GdA + Hdt, (0.1)
где а - бозонный оператор уничтожения, удовлетворяющий
коммутационному соотношению
[а, а+] = 1. (0.2)
Здесь (At:t^0)-некоммутативный аналог процесса броуновского
движения, который мы называем квантовым броуновским
движением, a F, G и И - "функции" некоммутирующих
переменных а и а+. Существенным требованием является сохранение
коммутационного соотношения (0.2) для всех времен, поэтому
процесс (at) можно рассматривать как квантовый случайный
процесс в смысле работы [1] в отличие от квантового броуновского
движения, удовлетворяющего коммутационному соотношению
\At,A]] = t, (0.3)
которое зависит от времени. Уравнение (0.1) подобно классическому
стохастическому дифференциальному уравнению вида
dX = a(X)dQ + m(X)dt, Х0 = 0, (0.4)
где Q - классическое броуновское движение. По этой причине мы
называем процессы, удовлетворяющие уравнениям вида (0.1),
квантовыми диффузиями. Мы найдем аналоги формулы Фейнмана -
Каца для процесса (0.4) и полугруппы (Jt: t ^ 0) операторов в
подходящем функциональном пространстве, ассоциированной с
процессом (0.4),
(Jtf)(x) = E(f(x + Xt)) с
инфинитезимальным оператором у°2(х)~[р + т(х)
') Hudson R. L., Parthasarathy К. R. Construction of quantum diffusions. In: Lect.
Notes in Math., v. 1055, Springer-Verlag, 1984, p. 173-198.


Конструкция квантовых диффузий
93
Уравнение (0.1) может также рассматриваться как стоха-
стическое обобщение обычного детерминистического уравнения
эволюции в квантовой механике (уравнения Гейзенберга)
da = i \Ж, a] dt. (0.5)
Мы покажем, что, как и в случае (0.5), уравнение (0.1) имеет
формальное решение, которое затем может быть положено в основу
строгой формулировки, в виде семейства унитарных операторов
эволюции, сплетающих значения а в моменты времени / и 0,
Uta0 = atUt. (0.6)
Эти операторы сами удовлетворяют стохастическому диффе-
ренциальному уравнению
dU = (dA*L -VdA + (iM-\ L+l) dt) U, (0.7)
подобно тому как операторы эволюции для (0.5) удовлетво
ряют обыкновенному дифференциальному уравнению
du = mu dt.
Однако даже в автономном случае, когда коэффициенты F, G и Н
уравнения (0.1) не зависят явно от времени, процесс (Ut) не
обладает групповым свойством,
U SU f =7= и s+1,
вместо этого Ut = Uot является членом двупараметрического
семейства стохастических эволюций (Ust', s ^ /)•
С другой стороны, операторы Ut можно рассматривать как
обобщение вейлевских операторов обычного канонического
формализма, удовлетворяющее, в частности, некоторому
коммутационному соотношению, которое в то же время оказывается
квантовой версией формулы Ито для произведений, используемой в
стохастическом дифференциальном исчислении. Содержание этой
квантовой формулы Ито вкратце сводится к тому, что все нормально
упорядоченные произведения дифференциалов равны нулю, тогда
как dAdA^ = dt.
Развиваемая здесь теория допускает значительные обобщения и
видоизменения. Мы используем здесь квантовое броуновское
движение с минимальной дисперсией а2 = 1 (см. [2]). В случае о2 >¦
1' формула Ито для произведений модифицируется следующим
образом:
dAdAf - ch2 a di, dA^ dA = sh2 a dt, где a2 = ch2a,
тогда как все остальные произведения дифференциалов равны нулю.
Имеется аналогичная фермионная теория, которая однако
оказывается менее богатой [2] из-за более ограничи


94
P. JI. Хадсон, К. Р. Партасарати
тельного характера фермионных коммутационных соотношений.
Предварительные сообщения о некоторых результатах этой работы
были опубликованы в [7], [8]. Изложение в данной работе носит
отчасти эвристический характер, и основное внимание уделяется
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 78 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed