Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
t)0. Эти функции согласованы в том смысле, что их значения в любой
момент t ^ 0 принадлежат алгебре фон Неймана
№t = В ($0) О Nt, (> 0. (3.36)
Семейство таких алгебр вместе с алгеброй № = В (&0) <8> N,
очевидно, наследует отношения (1.21) и (1.22). Более того, условные
ожидания Et, / ^ 0, порождают отображения Щ = - 1 (r) Et из № на
№t, для которых имеют место аналоги
(1.25) и (1.26). (В дальнейшем, поскольку мы будем рассматривать
а не Et, мы не будем писать верхний индекс.) В этой ситуации (3.3)
означает, что для любых
Конструкция квантовых диффузий
107
Ф, хе|0 и /, gsL2(R>0)
t
(Ф <g> (r) г|5я) = ^ (tf> <g> i|)f, / (г) F (t) + G (t) g (t) +
+ Я (г) % <8> г|)г) dx. (3.37)
Заметим, что для любого единичного вектора ф^Ьо (Ф (r) 'Фо,
(/<8>Л<)) является (нециклическим) квантовым броуновским
движением, и более последовательным, хотя и более громоздким
обозначением для стохастических дифференциалов, возникающих в
(3.3), было бы / (r) dA+, dl (r) Л.
Особенно важный класс обобщенных операторов Вейля
(3.26) возникает, когда "подынтегральные" выражения имеют вид
?(/) = /."(/)<8>/, 58(/) = 5М*)(r)Л (3.38)
где Lo, -функции со значениями в 5(Ы- Для этого случая строгое
доказательство существования унитарнозначного процесса,
удовлетворяющего стохастическому дифференциальному уравнению
(3.29), было получено в [11] классическими методами. В разд. 5 мы
покажем, что подобные процессы существуют и в некоторых
случаях, когда L0 и Шъ - неограниченные операторы.
4. КВАНТОВЫЕ ДИШШУЗИИ
Рассмотрим квантовомеханическую бозонную систему с одной
степенью свободы, описываемую оператором уничтожения а с
сопряженным оператором рождения а+, удовлетворяющим
коммутационному соотношению
[а, а+] = 1. (4.1)
Прежде чем перейти к стохастическим эволюциям, которые нас и
интересуют, полезно провести формальное рассмотрение вывода и
решение уравнения движения Гейзенберга для детерминистической,
но не обязательно автономной эволюции. Предположим, что
эволюция гладкая, т. е. существует "функция" Н(t)
некоммутирующих аргументов а и а+, удовлетворяющих (4.1),
которую мы будем считать многочленом от а и аУ с
коэффициентами, которые могут зависеть от времени, такая что
da = H dt; (4.2)
следовательно,
= Я + dt. (4.3)
Поскольку соотношение (4.1) должно выполняться во все моменты
времени, то
0 = d [а, а+] =* [da, а+] + [а, с?а+] (4.41
108
Р. Л. Хадсон, К. Р. Партасарати
(член [da, daf] в (4.4) отсутствует, поскольку мы еще не
рассматриваем стохастику). Подставляя (4.2) и (4.3) в (4.4) и
приравнивая нулю коэффициент при dt, мы получаем, что многочлен
Н должен удовлетворять уравнению
[Я, а+] + [а, Я+] = П. (4.5)
Этому условию удовлетворяет
Н = i [Ж, а], (4.6)
где Ж = Ж3* - формально самосопряженный, возможно, зависящий
от времени многочлен от а и что легко проверяется с помощью
тождества Якоби. На самом деле (4.6) является общим решением
(4.5), ибо, подставляя
Н = Z а"па+та" (4.7)
т, п
в (4.5), получаем
(s+ l)ar,s+i + (r+ l)as,r+1 = 0. (4.8)
Полагая
Ж = 1 ^ -~ja^rn+1an, (4.9)
т, п
получаем, что (4.8) влечет за собой Ж = Ж^, причем очевидно, что
выполняется (4.6). Так мы приходим к уравнению Гейзенберга
da - i[3/@,a]dt. (4.10)
Формальным решением (4.10) является
at = UtaaUT1, (4.11)
т. е.
atUt - Uta0, 4.12)
где Ut - (унитарное) решение уравнения
dU - [1Ж dt)U (4.13)
с начальным условием Uo = I¦ Заметим, что для любого многочлена
F^Z\mn^ma\ (4.14)
полагая
^ = Z Y^a?. (4.15)
мы имеем из (4.12) для любого 0,
FtUt = UtFQ. (4.16)
В частности, комбинируя (4.13) и (4.16).
dU = U(i3HS0dt). (4.17)
Конструкция квантовых диффузий
109
Напомним, что Ж может явно зависеть от времени, так
что Ж0 сохраняет такую зависимость. Для автономной си
стемы Жъ не зависит от времени, и (4.17) может быть про-
интегрировано
Ut = etm*. (4.18)
В этом и только в этом случае
^ = Ж0, (4.19)
поскольку Ut коммутирует с Ж0. Вообще решение уравнения (4.17)
может быть представлено формально как непрерывное произведение
t
?/< = ft ехр (1Ж0 (т) dx). (4.20)
о
Рассмотрим теперь в том же духе стохастические эволюции вида
da = dA'F + GdA + Hdt, (4.21)
da' = dA'G' + F' dA + H' dt. (4.22)
Здесь F, G и H,
возможно, зависящие от времени многочлены от
переменных а и а', (фо, {Af. t 0))-квантовое броу
новское движение, которое мы считаем стандартным. Решения а и
а+находятся в тензорном произведении l)0 (r) r(L2(R>0))
вспомогательного гильбертова пространства ф0 и фоковского
пространства, причем
а0 = а(0> (r)/, а+==а(0)+(r)/, (4.23)
и согласованы в том смысле, что в момент t операторы
at и а] присоединены к В (&0) (r) Nt. Многочлены F, G и Н
наследуют эту согласованность.
Мы предполагаем, что (4.1) имеет место для всех моментов
времени. Дифференцируя это соотношение и используя на этот раз
формулу Ито, получаем вместо (4.4)
0 = [da, а+] + [a, da+] + [da, da+] = (4.24)
= [dA'F+GdA+Hdt, а+]+[а, dA'G'+F' dA+H' dt\+
+[dA'F + GdA + Hdt, dA'G' + F'dA + H' dt] =
