Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
~§t at (Ф (y)) It-о - u).
откуда следует (6.3).
Пример 6.1. Гармонический осциллятор Пусть {W, а, /г} =| R2,
Oosc, ' II2}- ГДе ow(х, у) = 5=5Х\У% ~ Х%У\' Пусть Ж = Г2{Щ и
операторы Q и Р опреде
Гамильтоновы модели случайных процессов
83
лены соотношением
(Q^)(s) = si|)(s), (Яф)(") = - ity'(s).
Тогда [Q,P] - /1. Положим Ф(х) = XiP- x2Q. Тогда Ф удов-
летворяет (6.1). Гамильтониан дается формулой
H=±(Q* + P2).
Из соотношения (6.3) следует, что
at (Q) - Q cos I + Р sin t, at (P) = P cos t - Q sin t.
В частности, an/2{A) = F~XAF, где F преобразование Фурье в
L2(R). Алгебра 9)1 :== {Ф (х) \ х е R2}" = {Q, Р)" состоит из всех
ограниченных операторов в И.
Тесная связь (6.3) между динамикой классической механической
системы и соответствующей квантовой системы является
исключительным свойством линейных гамильтоновых систем,
которое исчезает, как только квадратичный гамильтониан
подвергается возмущению. Мы вернемся к этому замечанию в
следующем разделе.
Для конечномерного фазового пространства 'Г кинематическая
часть (а) процедуры квантования является корректно определенной:
теорема единственности Стоуна - фон Неймана утверждает, что с
точностью до кратности и унитарной эквивалентности существует
только одно отображение Ф с требуемыми свойствами. Однако если
фазовое пространство 'Г бесконечномерно, как в центральном
примере § 5, то существует множество неэквивалентных
представлений Ф канонического коммутационного соотношения
(6.1). Приведем определения, которые используются при
классификации этих представлений. При этом оказывается
предпочтительным формулировать ККС в терминах унитарных
операторов, порождаемых операторами Ф:
W (х)ехр(г'Ф(х)). (6.4)
Определение. Циклическим представлением ККС над
симплектическим пространством {4R а} называется тройка {Ж, W,
Q}, где Ж гильбертово пространство, W сильно непрерывное
отображение Чг в множество унитарных операторов в Ж, a Q
единичный вектор в Ж, такие что
(i) для любых х, г/еЧ': W (х + y) - e'l2ia[x'y)W (x)W {у),
(ii) линейная оболочка множества {W(x)Q\х е ЧД плотна в Ж.
Определение. Производящий функционал С : Ч'-'-С пред-
ставления {Ж, W, Q} ККС над (Чг, а} определяется соотно
84
Дж. Т. Льюис, Г. Маассен
шением
С(х) = (Q, W(x)Q).
Всякий производящий функционал обладает следующим свойством
положительности: пусть г\, г2, гп - комплексные числа и х\, х2, • • •,
хп - точки ЧТ Тогда
? z]zkekia <*/• (*;. - хк) > 0. (6.5)
{, k - 1
Приведенные определения мотивируются следующим результатом:
Теорема 6.1. Всякий непрерывный функционал С^-^С, такой что
С(0)= 1, и удовлетворяющий условию (6.5), является производящим
функционалом циклического представления ККС над {4R а},
которое определяется однозначно с точностью до унитарной
эквивалентности.
Доказательство. Отображение x->-W(x)Q является кол-
могоровским разложением [5] положительно определенного ядра Чг
X Ч?->- С:
{х, г/}->ехр(уш(лг, у)) ¦ С(х - у). ?
Пример 6.2. Вновь рассмотрим | R2, <w, 4 it • у2}- Положим
С{х) - ехр ( ^\\х [|2) , (л:(=К2).
Пусть
Ж - L2(R); Q(s) = n-V-^2; W {х) = e'l2ix'X2T^x,e~lX:,Q,
где (7Тф) (s) = if.(s - t). Тогда {Ж, W,Q}-циклическое пред-
ставление ККС над {R2, cT0Sc}. Связь с примером 6.1 осуществляется
соотношением (6.4)
Пример 6.3. Пусть Cp:R2->C задается соотношением С3(л:) = ехр(- (-
j cot Л4 p)lU||2) .
Положим
Ж1р = L2(R) (r) /2; Qp (s, п) = е~'^ ((2п ¦ п!)~'к (Q + iPf Q) (s);
W^X) = W{X)(r)1.
Тогда {Ж$, W$, ?2р} является циклическим представлением ККС над
{IR2, а05С} с производящим функционалом Ср.
Пример 6.2 описывает обычное квантование гармонического
осциллятора, где П - основное состояние. Пример 6.3
Гамильтоновы модели случайных процессов
85
дает циклическое представление ККС для гармонического
осциллятора, отвечающее равновесному состоянию при обратной
температуре р. Это состояние может быть задано в обычном
представлении оператором плотности р = ехр(- Р#)//г ехр(- р Н).
Циклическое представление в примере 6.3 является, очевидно,
кратным обычному представлению, т. е. квазиэквивалентно этому
представлению. Температурные состояния поэтому не приводят к
новому представлению ККС в соответствии с теоремой фон Неймана.
В случае бесконечномерного пространства ехр(-рЯ) не является
ядерным оператором в представлении основного состояния.
Состояния с положительной температурой не задаются оператором
плотности в этом представлении. Это является аналогом
ортогональности гиббсовских мер для классических бесконечных
систем.
Температурные представления определяются следующим образом
[9]. Рассмотрим полосу Л(Р) = {z е С |0^1ш z^p}. Обозначим Л(Л(Р))
алгебру всех ограниченных непрерывных функций Л(р) -> С,
которые аналитичны внутри Л(Р).
Определение. [Ж, W, 0} называется квантованием линейной
гамильтоновой системы {Т1-, h, о, V} при обратной температуре р,
если {Ж, W, Q} является циклическим представлением ККС над {Т-,
