Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
пространством L2(R>0). Разложению в прямую сумму 1) =
1)*(c)1^, где ^ = L2([ 0, i\), 1Yt = L2(]t, оо[), соответствует
разложение Г (1?) в тензорное произведение Г(1)) = = Г(Ь)(r) Г(!)*).
Обозначим Nt алгебру фон Неймана
B(T(h)) (r) / в Г(1)). Очевидно,
Ns^Nt,
(1.21)
Конструкция Квантовых диффузий
97
В силу неприводимости семейства операторов Вейля, Nt
порождается операторами Вейля W(/) с / е 1ц; благодаря сильной
непрерывности W(f) как функции / и плотности
U h в § алгебра [J Nt порождает Д(Г(§)) как алгебру <>0 *>0
фон Неймана; обозначим последнюю N, так что
N--
(U Л'Л". (1.22)
w> о /
Обозначим Е0(7') вакуумное ожидание оператора Т в гш,
Е0(Г) = (ф0, Гфо). (1.23)
Далее, условным ожиданием относительно алгебры Nt называется
отображение Е* из N на Nt, такое что для Т е N, Еt(T) есть элемент
Т\(r)1 алгебры Nt, где Т\ - единственный ограниченный оператор в
Г(1ц), для которого
(ф, Г,^) = (Ф (r) ф?, 7>(r)ф') (ф, ф е= Г (^)); (1.24)
здесь ф' вакуумный вектор в При этом имеют место
обычные свойства условного ожидания, например
E0(S1TS2) = E0(S1E([T]S2), (1.25)
для любых Si.Si^Nt, T^N, и башенное свойство
Е*оЕ( = Е* (0<s</). (1.26)
2. НВАНТОВОЕ БРОУНОВСНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Квантовым броуновским движением мы называем пару (ф, (Лц
t^O)), состоящую из единичного вектора состояния ф в
гильбертовом пространстве 1) и семейства операторов {Ac t ^ 0) в I),
которое вместе с сопряженным семейством (Л)-: 0) удовлетворяет
следующим соотношениям а), Ь)
и с);
a) Л0 = 0, (2.1)
b) К, At] = [A% Л+] = 0, (2.2)
[А" Л+] = 5Д1, (2.3)
где sAt - минимальное число из s и t. Здесь (2.2) и (2.3) означают,
что для любого t ^ 0 вещественная и мнимая части
Qt = At + Л+, (2.4)
Pt = rl{At-Aj) (2.5)
98
Р. Л. Хадсон, К. Р. Партасарати
являются существенно самосопряженными на 3) (Л,) П (r) (Л?) и
удовлетворяют эквивалентным коммутационным соотношениям
[Qs, QJ = [PS, Pt] = o, (2.6)
[Q"P/] = 2ISA/ (2.7)
в том смысле, что соответствующие однопараметрические группы
удовлетворяют соотношениям
e'xQ$eiyQt = eiyQteixQs, (2.8)
eixPseiyPi = eiyPteixP°, (2.9)
eixPseiyQt = e9-ixys A teWteixPs (2.10)
для всех x,y<^ R и s, t ^ 0. Следствием этого является факт, что для
любых Z\, ..., глеС и t\, ..., tn^ 0 оператор
с-4?, - 5Л,)=г I (- + у ,4.) <2-" >
(где X; и у,- - вещественная и мнимая части г,) является
существенно кососамосопряженным.
с) Для любых г1; ..., г"еС; tx
(ф* ехР { Z (ziAl - 2 A,)} ф) = ехР { - т . Z W/ Л }
(2.12)
Если вектор ф является циклическим для операторов А^, t ^ 0,
(эквивалентно для операторов Qt, t ^ 0), т. е. действие на ф
многочленов от этих операторов порождает плотное множество
векторов в I), мы говорим, что квантовое броуновское движение (ф,
(At: t^O)) является циклическим.
Заметим, что если (ф, (At: t ^ 0)) - (циклическое) квантовое
броуновское движение, то таковым является и (ф, (Bt\ t^O)), где
(Bt) связано с (At) калибровочным преобразованием
Bt = e~iQAt, 9е[0, 2я[. (2.13)
Квантовое броуновское движение обладает также тем свойством, что
оно "начинается заново в каждый фиксированный момент времени" в
том смысле, что (ф, (As+t-Л*, t^O)) является квантовым
броуновским движением для любого s ^ 0.
Циклическое броуновское движение получится, если взять в
качестве ф вакуумный вектор ф0 в фоковском пространстве
T(L2(R>o)) над L2(R;>o)n в качестве Л< - фоковский оператор
Конструкция квантовых диффузий
99
уничтожения, соответствующий индикаторной функции %(0 отрезка
[0, t],
Л = а(х[0,ц). ^>0. (2.14)
Мы называем это стандартным квантовым броуновским движением.
Заметим, что, как следует из (1.18), для стандартного квантового
броуновского движения калибровочное преобразование (2.13)
порождается действием вторичного квантования оператора
умножения на еш в L2(R>0):
Г (eie)+ AtY (ew) = e~'eAt. . (2.15)
Объяснение термина "квантовое броуновское движение" состоит
в следующем.
Рассмотрим каноническое (классическое) броуновское движение
(Xt: /7>0), определенное на пространстве 9 вещественных
непрерывных функций на R^o, обращающихся в нуль при t - 0, с
мерой Винера w, так что
Xt (со) = (о (f) (со <= '<?). (2.16)
Пусть (ф, (At: t^O))- циклическое квантовое броуновское
движение в гильбертовом . пространстве 1). Тогда существует
единственный изоморфизм D гильбертовых пространств 1) и L2(W,
w), такой что для любых /ь ..., tn^s 0
DQti ... Qty = Xti . .. Xtn. (2.17)
В самом деле, из (2.11) и (2.12)
(ф, ... <2^Ф) =
= ^ Xtx ... Xtndw,
откуда вытекает, что отображение (2.17) изометрично; поскольку
оно определено на полной системе в Т), образ которой является
полной системой в L2^, w), оно однозначно продолжается до
изоморфизма гильбертовых пространств. (В случае стандартного
квантового броуновского движения изоморфизм D представляет
собой преобразование двойственности [12].) Если преобразование D
используется для отождествления соответствующих гильбертовых
пространств, то, поскольку ф = 1, мы видим, что (Qt: / ^ 0) совпадает
