Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовые случайные процессы и открытые системы" -> 34

Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовые случайные процессы и открытые системы — Москва, 1984. — 220 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviesluchaynostiprocessiiotkritie1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 78 >> Следующая

сильного перемешивания достаточно доказать, что существует
оператор X, присоединенный к , такой что Xt := at{X) является
решением (7.1). Отсюда будет следовать
lim (ф, ехр(/ЯХ()г|)) = (0, ехр(гЯХ)?2). (7.3)
t -"оо
Пусть si - алгебра линейных комбинаций операторов {exn
(MQ^) | Я, / е R}. Мы действуем следующим образом:
(a) Возмущаем динамику щ\ A^>eitHAe~itH и получаем динамику
at: А -*¦ eitH Ае~11Н , где
Н - Н Аг w (Qo0),
w - возмущающий потенциал.
(b) Доказываем, что существует ^-автоморфизм у0: si^ASR^,
такой что
й/ ° Yo = Yo0 at- (7.4)
Тогда at(Q^) удовлетворяет квантовому уравнению Ланжевена с
шумом 7о°Фв-
(c) Доказываем, что у0 продолжается до "-автоморфиз- ма у
алгебры 9%. Тогда
X, :=a,oY-i(QP) (7.5)
является решением (7.1)
Сформулируем основные результаты. Группы а и а удов-
летворяют интегральным уравнениям
t
a_foat (М) = М + / ^ a_s ([w (Q§), as (M)] ) ds, (7.6)
о
t
a_t°at{M) = M - г ^a_s([ay(Q0p), as(M)])ds. (7.7)
0


Гамильтоновы модели случайных процессов
89
Рассмотрим морфизмы Мёллера уо и у0, определяемые соот-
ношениями
у0(Л):= lim а_;°аДЛ), у0(Л):= lim
a_t°at(A).
t~> оо t-*oo
Лемма 7.1. Для всех положительных значений а и г| функция qa,
отвечающая начальному положению осциллятора Орнштейна -
Уленбека в примере 3.2, удовлетворяет соотношению
\а(йо, Д<70)Кае_61м, (7.8)
для некоторых а,Ь^ 0, причем с необходимостью b<ia-a
Теорема 7.2. Пусть функция w : R -> R имеет вид
00
w(x) - ^ еахр {й%),
- 00
где (л - комплексная мера, полная вариация которой р+ удов-
летворяет условию
2 (1+(<Д))+а($ Я,2(1+(<Д)) <й. (7.9)
Тогда для всех А выполняется
Ё S л, |["(QP").
Я=0 0 ^ ^ ... tn оо
[... [ОУ(QP), Л] ...]](< °°- (7.10)
Заметим, что (7.10) выражает /.'-сходимость разложения Дайсона
для у0. Условие (7.9) влечет за собой выпуклость функции
v: х -> уах2 + w(x). (7.11)
Теорема 7.3. Если разложение Дайсона сходится (что имеет
место в условиях теоремы 7.2), то пределы уо(Л) и Vo(71)
существуют для всех Ле^. Более того, существует *-
автоморфизм у алгебры 2Лр, такой 4TOy(W(qt))=y0(W(qt)) и
у~1(Ч7(<7<))== yo(W(qt)) для всех t. Семейство определяемое
формулой
Xt = atov-i(Q$,
удовлетворяет уравнению Ланжевена с v, даваемым соотношением
(7.11).


90
Дж. Т. Льюис, Г. Маассен
Следствие 7.4. В условиях теоремы 7.3 существует вектор е
такой что для всех ф е Ж&, leR
Пт ехр (г^) ^ = (Q(r), e'W*Q(r)).
Литература *)
1. Accardi L., Frigerio A., Lewis J Т. Quantum Stochastic processes, Publ. RIMS,
Kyoto, 18 (1982), 97-133. [Русский перевод: см. наст. сб. с. 13-52.]
2. Benguria R., Кас М. Quantum Langevin Equation, Phys. Rev. Lett., 46 (1981), 1-
4.
3 Cramer H. Stochastic processes as curves in Hilbert space, Theory Prob. Appl., 9
(1964), 169-179.
4. Doob J. L. The Brownian movement and stochastic equations, Selected papers on
noise and stochastic processes, ed. Nelson Wax, Dover Publications, New York,
1954.
5. Evans D. E., Lewis J. T. Dilations of irreversible evolutions in Algebraic Quantum
theory, Communications of the Dublin Institute for Advanced studies, Series A, 24
(1977).
6. Ford G. W., Кас М., Mazur P. Statistical mechanics of assemblies of coupled
oscillators, Journ. Math. Phys., 6 (1965), 504-515.
7. Frigerio A., Lewis J. T. Non-Commutative Gaussian Processes, Preprint, Dublin
Institute for Advanced Studies, (1980).
8. Garsia A. М., Rodemich E., Rumsey H. Jr. A real Variable Lemma and the
Continuity of paths of some Gaussian Processes, Indiana University Mathematics
Journal, 20 (1970), N 6.
9. Haag R., Hugenholtz N. М., Winnink M. On the equilibrium states in quantum
statistical mechanics, Comm. Math. Phys., 5 (1967), 215-236,
10. Kampen N. G. van. Contribution to the quantum theory of light scattering, Mat.-Fys
Medd. Dansk. Vid. Selek., 26 (1951), N 15.
11. Колмогоров A. H. Кривые в гильбертовом пространстве, инвариантные по
отношению к однопараметрическим группам движений, ДАН СССР, т. 26 (1940),
6-9.
12. Lamb Н, Proc. London Math. Soc., 2 (1900), 88.
13. Langevin P. С. r. hebd. Seanc. Acad. Sci., Paris, 146 (1908), 530.
14. Lewis J. Т., Pule J. V. Dunamical Theories of Brownian Motion, Proceedings
International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics, ed. H.
Araki, 1975, Lect. Notes Phys., 39, 516-519.
15. Lewis J. Т., Thomas L. C. How to make a heat baht. Functional Integration, ed. A
M. Arthurs, Proceedings of International Conference Cumberland Lodge, London,
Oxford, Clarendon Press, 1974.
16. Lewis J. T Thomas L. C. A characterization of regular solutions of a linear
stochastic differential equation, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Gebiete, 30
(1974), 45-55.
17. Lewis J. Т., Thomas L. C. On the existence of a class of stationary quantum
stochastic processes, Ann. Inst. H. Poincare, Sect. A, 22 (1975), 241-248.
18. Maassen H. On a class of quantum Langevin equations and the question of approach
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 78 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed