Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
отклонение струны на расстоянии s от осциллятора обозначается
fi(s), скорость отклонения f2(s).
Уравнение (5.5) есть волновое уравнение для струны. Любое
решение V1 этого уравнения имеет вид
(I,tf) (S) ==(a(t-s) + b(t + s), a! (t - s) + b' (t + s)), (5.7) (t e
R, 0).
Мы будем называть а и b уходящей и приходящей волнами,
связанными с f. Граничное условие (5.4) вместе с соотношением f"
(0) = d2/dt2 (0) | ^ _° выражает второй закон Нью
тона для осциллятора. На осциллятор действуют две силы: сила
упругости - oc/i(0), возвращающая в положение равновесия, и сила
ф', (0), вертикальная составляющая силы, действующей со стороны
струны.
Гамильтоновы модели случайных процессов
71
Сопряженный гамильтониан системы Гг имеет вид
оо
hL if) = >/2 (/1 (О)2 + сГ*/2 (О)2) + "/ал J (/, (s)2 + F2(s)2) ds,
0
где F2 введенная выше первообразная функции /2.
Пусть 8l: [0, oo)-vR определяется соотношением
s = 0,
s > 0.
Тогда следующие функции принадлежат замыканию ЖД про-
странства ФТ по норме, определяемой KL:
pL = (t>L> 0) и <7ь = (0> - бг)- Рассматриваемые
как наблюдаемые pL и qL представляют импульс и координату
осциллятора
(PL> /) = /2(0) и oL(qL, f) = fl(0), V/efi.
Теорема 5.1. Для любого |e?i существуют единственные
функции а и b в 9*, для которых выполняется (5.7). Отображения
/ -"- д/2т) a " / -"- д/2г| 6
продолжаются по непрерывности до изоморфизмов Qout и Qjn
между Гг и Го- Более того,
^in <7г, == 7о ^ ^inPr, == Ро- Доказательство.
Функции а ) (- оо, 0] и b ) [0, оо) однозначно определяются по /, как
видно из (5.7) при t - 0. Следует показать, что они единственным
образом продолжаются до бесконечно дифференцируемых и быстро
убывающих функций на R так, что правая часть (5.7) удовлетворяет
(5.4) для всех моментов времени. Это эквивалентно тому, что
а" + r\a' + аа = - (b" - r\b' + ab). (5.8)
Пусть теперь функции К+: [0, oo)->R и Д_:-оо, 0]->R таковы, что /С"
± г\К'± + аК± = 0 с граничными условиями К± (0) = 0, К'± (0) = ± 1.
Тогда общее решение уравнения (5.8) для а на [0, оо) имеет вид
t
a(t) = - b (t) + 2ri \к+((- s) Ь' (s) ds + схК+ (() + с2К'+ (t),
(5.9)
а для b на (-оо, 0]:
о
b(t) = - a (t) - - s) a' (s) ds + c3K_ (/) + ctK'_ (t).
(5.10)
72
Дж. Т. Льюис, Г. Маассен
Гладкие склеивания значений а и b в нуле получаются, если
с1 = лЛ(0) + /2(0); °2 - !\ (0);
с3 = лЛ(0)+/2(0); с4 = -Л(0).
Пусть теперь (ел}ле N - последовательность функций в Со([0, оо)->-
[0, 1]), таких что ел(0)=1, и носитель ел стягивается к {0}. Тогда (ел,
0)-*~Pl, (п-уоо) И (0, - ел)-> ->qL (п-*-оо) по норме,
определяемого hL. Согласно (5.10) имеем в = L2(R)
Qin(0, -En)(t) =
, - t 0 v
= л/2г)^72 5 en(s)ds - ц ^ /(_ (* - s)e"(- s)ds + К- (t)J
->¦ л/ 2ri /С_ (г1) = <?0 (/),
(см. пример 3.2) и
- / ° йш(ел, 0)(0 = л/2т)^- V2e"(-0 + т) $ К_(* -
.s)e"(-s)ds +
+ Л/С_ (0 ~ К'_ V^n Г_ (0 = Р0 (t).
?
/ П оо и
Следствие 5.2. В гиббсовском состоянии модели Лэмба
приходящая волна b с точностью до множителя (2т|)_1/г экви-
валентна винеровскому процессу w при обратной температуре р.
Осциллятор удовлетворяет уравнению Ланжевена
(3.7).
Пример 5.2: модель Форда - Каца - Мазура.
Пусть А - {Ап}п€_ z положительно определенная последо-
вательность вещественных чисел, такая что Vn е Z : Л_л = Ап.
Определим линейную гамильтонову систему Гд = (Тд, hA, сгд, VA}
соотношениями
У А = { * е (R2)2| V6 > 0 : Z I " t (\xin | + \х2п |) < оо
( п е Z J
^Л (¦*') = ~2 X\n^n-tnX[tnJr ~2 Л'2п'
/i,meZ neZ
(7л(^> y)= Z - лс2"г/т)-
neZ
Гд описывает цепь гармонических осцилляторов, связанных
трансляционно инвариантной системой пружин А (возможны и
отрицательные значения коэффициента упругости), так что полная
потенциальная энергия неотрицательна. Из всевозможных
наблюдаемых выделяются импульсы и коорди
Гамильтоновы модели случайных процессов
73
ната нулевого осциллятора: пусть 6леК2 есть последовательность (...,
О, 0, 1,0, 0, ...), где единица стоит на нулевом месте, и обозначим
Рл = (6л, 0) и qA = (0, - 6Л).
Используем трансляционную инвариантность системы Гл, чтобы
преобразовать ее к другой гамильтоновой системе, эволюция
которой выписывается в явном виде. Рассмотрим функцию Q: [-л,
JI]->R
Q(0)2= I Апем, 0=^0, (5.11)
причем ?2(0) имеет тот же знак, что и 0, и ?2(0) = 0. Это возможно в
силу положительной определенности А. Определим систему Гй= {Та,
ha, ста, Ра} соотношениями
Та = {/ 6= Се г ( [ ¦- Я, Jt] )2 | / ( - 0) = / (0)*},
Я
ы/) = у 5 (?2(0)2|/1(0)|2 + |/2(0)!2)|^.
- Я
Я
oa(f, g)= S(/i(e)g2(e)-/2(e)g,(e))|r-
-я
Тогда временная эволюция VQ, определяемая каноническими
уравнениями движения, имеет вид
v? (Л* /2) = ((cos + (й_1 sin Q0 /2.
- (Q sin Q/) /j -f- (cos Ш) /2).
Гл изоморфно отображается в Го при отображении Тл-"Та:
х1пе1п\ ? x2nein'\
\ п п /
Заметим, что рА переходит в рн: = (1,0), a qA в qa:=(0,-1).
