Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
щественном гильбертовом пространстве Ж, или, более четко, сильно
непрерывное семейство {Jt}t ^ в изометрий из другого гильбертова
пространства Ж в Ж. Мы будем предполагать, что Ж порождается
векторами {Jtk\t<^R, 1г^Ж}. Я-процесс называется
стационарным, если движение подпространства описывается
группой {Ut}t^R ортогональных преобразований Ж, т. е. для всех /,
seR
Jt+s = U,oja. (2.1)
Для любого t е R определим следующие подпространства: Mt = Jt^
(настоящее),
= замкнутое подпространство, порождаемое {]sk | k
<^. Ж, s^.t} (прошлое и настоящее),
Ж\1 - замкнутое подпространство, порождаемое {Jsk | k <^Ж,
s^t} (настоящее и будущее).
Пусть Pt, Рр и Pyt - ортогональные проекторы на Mt, Мц и
соответственно.
Определение. Я-процесс называется детерминированным,
если Mt\ - Ж для всех i е R, регулярным, если
t е= R
марковским, если РцЖц - Mt для всех / е R.
Корреляционная функция К: RX R-^-2'(J) Я-процесса J определяется
соотношением
(k,K(s,l)k')=(Jsk,Jtk'). (2.2)
Гамильтоновы модели случайных процессов
59
Лемма 2.1. Всякий Н-процесс определяется однозначно с
точностью до ортогональной эквивалентности своей корреля-
ционной функцией.
Доказательство. Утверждение является частным случаем
теоремы существования и единственности минимального кол-
могоровского разложения положительно определенного ядра [5]; J
является мининмальным колмогоровским разложением К- ?
Свойства процесса J отражаются в свойствах К, как показывает
следующая лемма.
Лемма 2.2. Пусть К'. RX ^ (Ж)-корреляционная
функция Н-процесса J. Тогда J
(i) стационарен тогда и только тогда, когда K{t,t-\-s) не
зависит от t при всех s;
(ii) марковский тогда и только тогда, когда К(s, t)K(t,u) = =
К (s, и) для всех s s?I t s?l и в R.
Доказательство Если J стационарен, то /((I,/ + s) = = JtJt+s -
JoUtUt+Jo = JoUsJo, что не зависит от t. Обратно, если K(t,t-\- s) не
зависит от t для всех s, то процессы s-*- Js и s J t+s имеют
одинаковые корреляционные функции (и, s)-+ K{u-\-t,t-\- s) - K(i,
s). По лемме 2.1 тогда существует ортогональное отображение Utl
удовлетворяющее (2.1).
Чтобы доказать (ii), заметим, что для всех k и k' в Ж и для всех
s</<"bR имеем
(k, {K(s, u)-K(s, t)K(t,u))k') =
= </A(l -Jtti)Juk') = (jsk, (I ~Pt)Juk')- ?
Для стационарного Д-процесса J можно определить корреляционную функцию одного аргумента S: [0, оо)-> (Ж)
соотношением
Ss = K(t, t + s), (5>0,ieR). (2.3)
Если J к тому же марковский, то S - полугруппа
St+s = SfSa, (s, />0).
(2.4)
Лемма 2.3. Стационарный марковский Н-процесс регулярен
тогда и только тогда, когда S сильно сходится к нулю, т. е.
\fk е=Ж: lim || S(fe|| = 0. (2.5)
t ->оо
Доказательство. Для всех s eR и t ^ s имеем
60
Дж. Т. Льюис, Г. Маассен
поэтому (2.5) эквивалентно соотношению у/г^Ж
lim ||PtIA|| = 0,
/ -> oo
которое выражает регулярность J. ?
С другой стороны, для любой полугруппы 5, удовлетворяющей
(2.5), можно построить стационарный марковский Я-процесс [5].
Если Jf- гильбертово пространство, то обозначим L2('k-*-Jf)
гильбертово пространство всех измеримых
оо
функций h: К-*-дГ, таких что ^ |] h (/) Ц'? dt < оо. Для Ai, А2е
- оо
со
ei2(R ->-Jf) положим (hb h2):= ^ (h^i), h2(t)) dt. Пусть
- оо
{T t) - группа сдвигов в L2(R->-Jf):
(Tth)(s) = h(s - t). (2.6)
Лемма 2.4. Пусть S - сильно непрерывная полугруппа линейных
операторов в Ж, сильно сходящаяся к нулю. Тогда существует
регулярный стационарный марковский Н-процесс {Jt = UtJ0}t е= r,
такой что
(St, 1> 0
/оЯ</о = 1 . (2.7)
I S-t, /< 0.
Пара {Ж, U) эквивалентна {L2(R^>-Jf),T}.
Стационарный Я-процесс {/* = ЯД0}/е= r со свойством
(2.7) называется расширением полугруппы 5. По лемме 2.1 все
расширения данной полугруппы эквивалентны.
Доказательство. Пусть G - производящий оператор 5.
Поскольку - невозрастающая функция для всех k,
имеем для k е dom (G -f- G*),
- (k, (G + G*) k) = - || Stk ||2 |<_o > 0. (2.8)
Пусть теперь Жо - нулевое подпространство G -f- G*, и Ж = =
dom{G) /Жй. Пусть А: Ж-*¦ Ж--каноническое отображение, и
определим скалярное произведение в Jf соотношением <Л?, Л?'>:
=-(k, (G -+- G*)k'}. Положим Ж = L2 (R ->- Jf) и Ut - Tt.
Отображение Jo: Ж-+Ж, даваемое формулой
ГО, s > 0,
(/"?) (s) - | AS_sk> s ^ 0) (2.9)
Гамильтоновы модели случайных процессов
61
является изометрией, поскольку для всех /fee dom(G)
о о
||/0fe|l2 = 5 |MS-Sfe|fds= J ("37II S-sk II2) ds = || S~sk ||
5 = 0 S= -
oo
= \\kf.
Более того, для всех k, fe'edom (С) и всех О
о
(J0k,UtJ0k')= J (AS-sk, AS-s+tk') ds =
- оо
о
= 5 (AS-sk, AS-s(Stk'))ds = (J0k, JQStk') = {k, Stk').
- CO
Это доказывает (2.7) при /^0. Если i < О, то J0UtJo =
- (joUtJo) = (JoU-tJo) =S-t. ?
Расширение J сжимающей полугруппы имеет интересное
свойство - оно удовлетворяет абстрактной версии уравнения
Ланжевена для броуновского движения: приращение Jtk состоит из
слагаемого, обусловленного изменением Stk, и "шума", который
