Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
о(х, y)^h(x) + h(y).
Поэтому для всех X <= R и х, у е Чг
X2h (х) - Ха (х, у) h (у) 0.
Утверждение следует из правила дискриминанта. ?
Определим скалярное произведение на Чг по формуле
(х, y) = 2h(ax, ау). (4.8)
Тогда
h(x)=l/2(x, х)= '/г II х: ||2.
В лемме (4.1) утверждается, что в случае сНтЧ'Соо на-
блюдаемые {фх} являются гауссовскими случайными вели-
чинами с дисперсией ||л:||2/р, если состояние задается гибб-
совской мерой на Чг
Рр (dy) = c~^h {у) dy U ^ e~$h {у) dy
68
Дж Т. Льюис, Г. Маассен
Естественно распространить это утверждение на бесконечномерный
случай, когда меры Лебега dy не существует. Очень часто можно
естественным образом расширить Ф- до пространства Ч'ф,
достаточно большого, чтобы вместить такую гиббсовскую меру Pp.
Пусть Ж- пополнение Ч/ по норме (4.9). Соответствие х-+-ц)х
продолжается до отображения из Ж в про
странство функций, определенных почти всюду на Чг+. Временная
эволюция (->¦ V-t продолжается до унитарной группы U на Ж, а
через -до группы сохраняющих меру преобразований на 4V
Предположим, что Ж - подпространство Ж, состоящее из
наблюдаемых, которые относятся к подсистеме рассматриваемой
гамильтоновой системы (например, один из осцилляторов системы в
примере 4.2). Тогда мы оказываемся в ситуации, описанной в
предыдущем разделе: семейство {Jt - Ut \Ж\г 6= R определяет //-
процесс над подсистемой, который переводится в стационарный
гауссовский случайный процесс отображением ц>т.
Завершим этот раздел формулировкой канонического уравнения
движения в терминах скалярного произведения
(4.8) . Оно имеет вид
ух, i/eT: (х, Vty) |<_0 = а(х, у). (4.10)
б. ГАМИЛЬТОНОВЫ МОДЕЛИ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Теперь мы можем описать каноническую конструкцию га-
мильтоновой системы, моделирующей броуновское движение.
Определим линейную гамильтонову систему Го = = {'Го, h0, оо, Г0}
следующим образом:
оо
'То = пространство Шварца 9h0(f) = 1/2 ^ /'(s)2 ds',
- оо
00 оо
Оо (f, g) = 5 f (s) g'(s) ds-= f(s)dg(s);
- 00 -OO
I/O f = f(. + t) = T_tf.
Тогда сопряженная система (наблюдаемых) г0 =
и*(R), */2|| • II2, Т}.
Состояние теплового равновесия при обратной температуре |3
получится, если нам удается расширить фазовое пространство Ч^о ДО
некоторого пространства *Р<н и наблюдаемые Ф f: g->°o(f, g) до
линейного функционала ср0(f) : 'Р0+-*-К таким образом, что 'Fo+
является носителем вероятностной
Гамильтоновы модели случайных процессов
69
меры Р@ со свойством
V/sW0: J ei^^^dP^(w) = e-'^"^HVP. (5.1)
*0+
Это может быть сделано следующим образом:
4'0+ = {(r)eC(R-*R)|3"eN, ВК> 0: | w (s) |< К{\ +1 s |П;
оо
(Фо (/)) ((r))) = - \ W (s) f'(s) ds\ (5.2)
- оо
и Рр является вероятностной мерой винеровского процесса с
"температурой" 1/р.
Для почти всех w (относительно Рр) (5.2) интегрируется по
частям
оо
(фо(/))М= ^ f(s)dw(s), (б.З)
- оо
причем интеграл понимается в винеровском смысле. Более того, из
(5.1) следует, что
Е3(Фо(/)фо(й')) = Р"1</. и это позволяет
продолжить далее ф0 до изометрии L2(R)->- ->¦ L2(4fo+, Рр) (с
точностью до множителя р).
Пусть фо и р0 обозначают наблюдаемые в L2(R), отвечающие
начальным координате и импульсу осцилляторного Я-процесса
Орнштейна - Уленбека с коэффициентом упру-
( / °
гости а>0 I в примере 3.2 следует положитьG = I II.
Заметим, что qt - Ttq0, pt = Ttpo. Осцилляторный процесс
Орнштейна - Уленбека дается соотношениями
оо
Qt = Фо {Т td о) = \ do(s-t) dw (s);
-
оо оо
Pt = Фо СтtPo) = 5 Ро (s - 0 dw (s).
- оо
Такая конструкция может показаться не вполне удовлет-
ворительной. Хотя она и соответствует описанию линейной га-
мильтоновой системы в предыдущем разделе, ее физическая
интерпретация представляется не столь очевидной, как для
рассмотренных там примеров. Поэтому мы обратимся к при-
мерам/взятым из физической литературы, и покажем, что они либо
прямо изоморфнц системе Го, либо могут быть аппроксимированы
ею
70
Дж. Т. Льюис, Г. Маассен
Пример 5.1: модель Лэмба.
Рассмотрим линейную гамильтонову систему IV= {'Рг., h-L, OL,
Vl}, определяемую следующим образом (более подробно см. в [15], [
18]).
Пусть а, г] > 0. Пусть пространство всевозможных пар
f==(f1,f2) функций [0, oo)^-R, таких что fi и F2: /->- ^ f2(s)ds
- оо
бесконечно дифференцируемы и имеют компактный носитель, и fj
удовлетворяет граничному условию
/;/(0) = <(0)-<(0). (5-4)
Пусть
оо
hL (/) = V* " (О)2 + /2 (О)2) + 72 Л J (/; (s)2 + /2 (s)2) ds
U
И
оо
<4. (/. 8) = /i (0) g2 (0) - /2 (0) gt (0) + т| J (/iffa ~
fsgt) ds.
0
Канонические уравнения движения (4.1) сводятся к
<5-5>
т ('-'f) /2<0) i,_0 = - of, (0) + л/; (0). (5.6)
Эти уравнения совместны, только когда f удовлетворяет граничному
условию (5.4), и поэтому оно было включено в определение Фь
Система ГЧ описывает гармонический осциллятор с коэф-
фициентом упругости а и единичной массой, соединенный с
полубесконечной струной плотности т] и натяжения тр Вертикальное
