Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
анализа Уленбека и Орнштейна [24] ясно, что предположения
Ланжевена о dw/dt сводятся к тому, что w(t) - винеровский
процесс: процесс t-+w(t) гауссов с нулевым средним и ковариацией
E(ay(s)ay(0) = min(s, /). (1.3)
Как указал Дуб [4], уравнение (1.1) не имеет непосредственного
смысла, поскольку винеровский процесс нигде не дифференцируем;
однако ему можно придать точный смысл, используя стохастический
интеграл, введенный Винером [25]. Если Р0 - гауссовская
случайная величина, не зависящая от {ш(/)|/^0}, то существует
единственный случайный процесс {Р (t) | / ^ 0}, удовлетворяющий
(1.1) и условию Р (0) = = Ро; этот процесс, называемый процессом
скоростей Орнштейна- Уленбека, является гауссовским и
марковским и полностью определяется параметрами гп, г| и kT. На
этом уровне исследование уравнения Ланжевена стало завершенным.
Однако это не давало полного удовлетворения физикам; хотя
предсказания, основанные на этом уравнении, хорошо согласовались
с экспериментом, само уравнение не имело достаточного
обоснования в статистической механике.
В идеале было бы желательно исходить из гамильтониана h на
фазовом пространстве Д полной системы, состоящей из броуновской
частицы и молекул окружающей жидкости. Решение {Vty}
гамильтоновых уравнений движения выражает положения и
импульсы каждой частицы в момент t в терминах их начальных
значений, которые описываются точкой у из Д. В общем у нас нет
детального знания о начальном состоянии системы в целом; если мы
знаем только, что она находится в тепловом равновесии при
температуре Т, то начальное состояние описывается плотностью
вероятности р(у) на фазовом пространстве, где р (у)
пропорциональна ехр[-h(y)/kT). Таким образом, всякая функция F
на фазовом пространстве определяет случайный процесс Ft(y) - =
F(Vty). Для произвольной F это не приводит к интересным
результатам, потому что соответствующий процесс не
Гамильтоновы модели случайных процессов
55
допускает простого описания. Однако, если взять в качестве F
импульс броуновской частицы, мы должны получить случайный
процесс, который хорошо аппроксимируется процессом Орнштейна
- Уленбека. В частности, этот процесс должен быть
нечувствительным по отношению к детальным свойствам теплового
резервуара.
Пока что все это оставалось не более чем программой (хотя
недавно Лебовиц с сотрудниками достиг определенного прогресса в
ее выполнении). Вместо этого было подробно исследовано поведение
сильно упрощенных моделей частицы, взаимодействующей с
резервуаром. При таком подходе тепловой резервуар представляется
набором взаимодействующих гармонических осцилляторов;
поскольку уравнения движения для такой системы линейны, можно
достигнуть определенного результата. Форд, Кац и Мазур (ФКМ) [6]
достигли на этом пути пределов возможного: задавшись вопросом -
для каких квадратичных гамильтонианов импульс броуновской
частицы описывается процессом Орнштейна-Уленбека, они нашли
ответ на этот вопрос. Он оказался довольно неожиданным.
Взаимодействие имеет бесконечный радиус; на самом деле каждый
осциллятор взаимодействует со всеми остальными, причем
константы взаимодействия оказываются бесконечными; более того,
конечного числа осцилляторов недостаточно- тепловой резервуар
должен иметь бесконечное число степеней свободы. Такая патология
несколько обескураживает, однако путем разумного использования
процедур обрезания Форд, Кац и Мазур смогли получить в этой
модели осмысленные результаты. Найдя модель теплового резер-
вуара, действие которого на частицу в точности сводится к
тормозящей силе трения и ведущему белому шуму, как в уравнении
(1.1), они сделали следующий шаг и заменили классическую
динамику на квантовую. Так они получили первый пример
квантового случайного процесса.
То обстоятельство, что для получения процесса Орнштейна-
Уленбека пришлось неограниченно увеличивать число степеней
свободы, наводит на мысль, что стоит поискать модели, которые с
самого начала имеют бесконечное число степеней свободы. В 1900 г.
Лэмб [12] предложил простую модель радиационного затухания. Он
рассмотрел смещение частицы массы т, которая может двигаться
вдоль оси у под действием возвращающей упругой силы и соединена
с полубес- конечной однородной струной плотности р, натянутой
вдоль положительной полуоси х с натяжением т. В линейном при-
ближении смещение струны ft(x) удовлетворяет уравнению
56
Дж. Т. Льюис, Г. Маассен
а смещение частицы - уравнению
Q(0 + aQ(0 = -^M*)U=o.
Как будет показано в примере 5.1, энергия, которая исходно
локализована в осцилляторе, уходит по струне и не возвращается.
Это порождает эффективную силу трения (затухания),
пропорциональную скорости частицы. Исходное движение струны
разлагается на приходящую и уходящую волны. Уходящая волна не
оказывает влияния на осциллятор, но приходящая действует как
эффективная ведущая сила. Если рассмотреть полную систему как
линейную гамильтонову систему, то мы можем распространить на
