Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовые случайные процессы и открытые системы" -> 23

Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовые случайные процессы и открытые системы — Москва, 1984. — 220 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviesluchaynostiprocessiiotkritie1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 78 >> Следующая

нее принципы классической статистической механики, введя
гауссову меру на бесконечномерном фазовом пространстве и исходя
из требования, что средняя энергия на степень свободы равна
уйГ. Такая статистическая версия модели Лэмба была предложена
одним из авторов и детально изучена в диссертации Томаса [22] (см.
также [15]). Смещение осциллятора является тогда случайным
процессом; Томас показал, что оно подчиняется уравнению
Ланжевена
^^-Q(0 + n^-Q(0 + aQ(0 = a^1-
Это немарковский процесс, но, как хорошо известно, он имеет
марковское расширение: двухкомпонентный процесс (Q(/), P(t)}
является марковским (он называется осцилляторным процессом
Орнштейиа - Уленбека). Если а равно нулю, то импульс P(t)
оказывается процессом скоростей Орнштейна - Уленбека. Отсюда
видна связь между моделями Лэмба и ФКМ. На самом деле, будучи
представленными как линейные гамильтоновы системы с
бесконечным числом степеней свободы, они эквивалентны, как
показали Льюис и Томас [15].
Оказывается, что обе модели можно рассматривать как
конкретные конструкции ортогональных расширений Секе- фальви-
Надя некоторой полугруппы сжимающих операторов. Обратное было
доказано в [16] (см. более короткое доказательство в последующей
работе [5]): минимальное ортогональное расширение полугруппы
сжимающих операторов, которая сходится к нулю, удовлетворяет
абстрактному уравнению Ланжевена. Эта связь была использована
Льюисом и Пуле [14], которые показали, что всякая лииейиая
диссипативная система может быть вложена в линейную гамильто-
нову систему так, что ограничение гамильтонова потока на
исходную систему удовлетворяет уравнению Ланжевена; при


Гамильтоновы модели случайных процессов
57
проецировании на исходную систему возникает исходный дис-
сипативный поток.
Рассматривая стационарные случайные процессы как линейные
гамильтоновы системы, нетрудно построить их квантовый аналог.
Такая конструкция была предложена в [17]; если исходным является
осцилляторный процесс Орнштейна - Уленбека, то квантовым
аналогом оказывается осцилляторный ФКМ-процесс. Квантовый
процесс всегда оказывается более сингулярным, чем
соответствующий классический (по крайней мере в случае бозонного
квантования); это обусловлено квантовыми флуктуациями теплового
резервуара. Квантовый тепловой шум был рассмотрен одним из
авторов [18]; было показано, что осцилляторный ФКМ-процесс удов-
летворяет квантовому уравнению Ланжевена.
Долгое время существовало подозрение, что эти результаты
имеют чисто линейную природу и поэтому в какой-то мере
нетипичны. В случае классической системы Льюис и Пуле [14]
показали, что нелинейный диссипативный поток, рассматриваемый
как возмущение линейного диссипативного потока, вкладывается в
гамильтонову систему таким образом, что ограничение гамильтонова
потока на исходную систему удовлетворяет нелинейному уравнению
Ланжевена с тем же шумом, что и для невозмущенной линейной
системы. Бенгуриа и Кац [2] рассмотрели этот вопрос для квантовой
системы, используя теорию возмущений. Строгое рассмотрение фер-
мионной системы было дано Аккарди, Фриджерио и Льюисом [!]¦
Бозонный случай был строго рассмотрен Маасеном [18]; близкие
результаты были независимо получены Нака- зава [19].
План статьи следующий. В разд. 2 и 3 мы даем обзор
гильбертовой структуры случайных процессов, делая упор на
регулярные стационарные гауссовы процессы. Подчеркивается
эквивалентность для таких процессов марковского свойства и
выполнения уравнения Ланжевена.
В разд. 4 мы описываем, каким образом гиббсовские состояния
линейных гамильтоновых систем в классической механике приводят
к стационарным гауссовским случайным процессам. Выбирая
специальную гамильтонову систему, можно таким образом получить
процесс Орнштейна - Уленбека, как в разд. 5. Мы показываем, что
ряд физических моделей, известных в литературе, - модель ФК.М,
модель Лэмба и две модели из атомной физикиэквивалентны
этой центральной гамильтоновой системе.
В разд. 6 обсуждается квантовое описание гамильтоновых
систем, приводящее к квантовому уравнению Ланжевена.
Нелинейное квантовое уравнение Ланжевена рассматривается в
разд. 7. Можно показать, что оно имеет решение,


58
Дж. Т Льюис, Г. Маассен
стремящееся к тепловому равновесию, если только нелинейность
обусловлена осцилляторным потенциалом, который является
гладким, выпуклым и близок к гармоническому.
2. ПРОЦЕССЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Гильбертово пространство, порождаемое случайным процессом
второго порядка, было рассмотрено впервые в работах Колмогорова
[11] и Крамера [3]. В случае гауссовского процесса свойства этого
пространства определяют свойства процесса [20]. Напомним
основные понятия процессов в гильбертовом пространстве (кратко,
Я-процессов), имея в виду приложения к гауссовским процессам.
Более подробное изложение см. в [7], [1].
Я-процесс описывает движущееся подпространство в ве-
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 78 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed