Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
ортогонален любому вектору из прошлого Ж{\. Пусть ^(R)-
совокупность борелевских подмножеств R. Если Sef(R), то лебегова
мера S обозначается |S|.
Определение. Пусть с - неотрицательная билинейная форма на
Ж. Гильбертов белый шум на Ж с коэффициентом диффузии с это
отображение
I: &(&)ХЖ-+Ж: (S, k)^lsk,
где Ж некоторое гильбертово пространство, линейное по k, и такое
что для всех S, S' е &(R) и всех 4, 4'е1
<1Uk, Ь"*0 = 1 SDS'I - с(Л, k').
Теорема 2.5. Пусть S - сильно непрерывная полугруппа
сжатий на гильбертовом пространстве Ж, сильно сходящаяся к
нулю. Пусть ] - расширение полугруппы S и G - ее инфи-
нитезимальный оператор. Тогда существует гильбертов белый
шум | на Ж, такой что для всех k^-Ж
d(Jtk) = (JtGk)d( + ldtk. (2.10)
Коэффициент диффузии дается формулой
c{k,k')=-(k,(G + G,)k). (2.11)
62
Дж. Т. Льюис, Г. Маассен
Абстрактное уравнение Ланжевена (2.10) является сокращенной
записью выражения
t
]tk - /*?=$ {JuGk) du + g[e> k, Vs, t e= R. (2.12)
Связь между диссипацией- (G -+- G*) и коэффициентом диффузии
с, выражаемая формулой (2.11), является абстрактной версией
физической флуктуационно-диссипационной теоремы.
Доказательство. В силу единственности с точностью до
эквивалентности расширений полугрупп достаточно доказать, что
существуют / и |, удовлетворяющие (2.10) и (2.11). Пусть J дается
соотношением Jt = TtJ0, Jо, как в (2.9), и определим | по формуле
(Ssfe)(s) = Xs(s) • Ak.
Тогда выполняется (2.12), поскольку для всех xeR t ГО,
x^t,
^ (JuGk) (х) du - < (Jtk) (х) - Ak, x^ s,
s I{Jtk)(x) - (Jsk)(x), s^tx. ?
3. ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Для любого гильбертова пространства Ж можно найти ве-
роятностное пространство (Э?ж, SF№, Рх} и линейное отображение ф*
: Ж -> L2{Жт, Р%), такое что все ф(/) являются гауссовскими
случайными величинами, причем
V/, ё^Ж: Еж(фж'(/)фж(^)) = (/, g). (3.1)
Вероятностное пространство и отображение срх определяются с
точностью до стохастической эквивалентности пространством Ж.
Если Ж конечномерно, то можно положить Хх = Ж, Рм (dh) = (2я)-
'/*dim * exp (- V21| h ||2) dh, и (Фж (/)) (h) =
= </, A).
Однако для сепарабельного бесконечномерного Ж необходимо более
широкое вероятностное пространство. В этом случае пусть -
пространство всевозможных последовательностей х = {хп}пе= n, и
пусть Рж - мера на Хх, задаваемая формулой
Р?e(dx)= ??) ((2л)~техр(-1/2х2п) dxn)- (3.2)
п G N
Выберем ортонормированный базис [hn}n <= N в Ж, и пусть Жй -
подпространство всех линейных комбинаций векторов /гя.
Гамильтоновы модели случайных процессов
63
Определим для всех
(фо(/))М= Z Фп.!)хп- п е N
Тогда ф0 продолжается единственным образом до непрерывного
отображения ф: Ш-* L2(XyePx), удовлетворяющего (3.1).
Пусть - коммутативная алгебра фон Неймана
?°°(ЭЁжРж). Если 3 подпространство Ж, то пусть 3 % наименьшая
под-ст-алгебра SFзв, относительно которой измеримы все ф(/), (/ е
3). Пусть - ограничение Рх на Тогда алгебра фон Неймана,
порождаемая ограниченными измеримыми функциями от случайных
величин (ф(/) |/ei?}, совпадает с Tt? = L°° (?yg, 3 х, Р^), и операция
взятия условного ожидания Ех{Х) случайной величины X при данных
значениях (ф(/) |/е 3} определяет проектор Ех:
Ортогональным подпространствам 3\ и 32 отвечают ста-
тистически независимые алгебры 991^, и Ш#2.
(Коммутативным) случайным процессом мы называем семейство
{/V 91->9Jl}(eR "-морфизмов коммутативной алгебры фон Неймана
91 в $1. Мы предполагаем, что алгебры /(91, (/е R) порождают 991.
Для любого / <= R определим следующие подалгебры:
3(r)( = {/с (М) | -V е 91}" (настоящее),
3№(] = {/((М) | М е 91, / ^ 0}" (прошлое и настоящее),
991 [( = {/(((V) | /V е 91, / ^ 0}" (настоящее и будущее).
В терминах этих подалгебр удобно формулируются некоторые
понятия теории случайных процессов.
Определение. Случайный процесс {jt: 91 -> 991}* е r называется
детерминированным., если 991/] - 991 для всех i е R,
регулярным, если f] Э91(1 - (Я ¦ / | Я е R},
t s= R
марковским, если ЕцШц - 991( для всех le R (здесь Ец - =
Дщщ).
Пусть теперь {It : Ж -> ^ е r} есть Я-процесс. Тогда для любого t
е R отображение //, задаваемое соотношением
/? (F (Фа. (*))) = F (Фж (/,*)), (F s L°° (R)), (3.3)
продолжается по непрерывности до*-морфизма jt: 391.x-->-991х- Мы
называем / гауссовским случайным процессом, ассоциированным с
гильбертовым процессом J.
64
Дж. Т. Льюис, Г. Маассен
Теорема 3.1. Гауссовский случайный процесс {jt: Шх~+
-> Tt^}t е r детерминирован (регулярен, марковский) тогда
и только тогда, когда J обладает соответствующим свойством
Доказательство см. в [7]. ?
Пример 3.1. Возьмем г) > 0. Пусть Ж=К и определим
полугруппу S как
Stk = e~^k, (/>())•
Расширение S дается соотношением
Jt: R->L2(R): (Jtk)(s) - л/'2цв(1 - s)e~J]it~s)k.
Тогда pf.= JtI удовлетворяет абстрактному уравнению Лан-
жевена
dpt = - Wt di + V2т1 Xdt- (3.4)
Соответствующий марковский процесс {/J* <= R дается соотно-
