Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
модели.
Возвращаясь к обозначениям предыдущего примера и заменяя сразу
свободное поле на Г9, мы приходим к следую-
80
Дж. Т.. Льюис, Г. Маассен
щему описанию линейной гамильтоновой системы ГЕм(|): *^ЕМ =
^osc (c) *^' СГЕМ = Pose (c) СТ0> hPEM(x, f)=~ax\-\r^m~\x.2 - (l, f')f
+ (c) || f ||2.
Здесь <•, ¦) и || • || - скалярное произведение и норма в L2.
Сопряженный гамильтониан принимает вид
ЛЕМ(*, f)=jmx2l + ja-lx22 + Y\\ff + xl(l, f),
где т т||?||2 - ренормированная масса. Как Дем, так и Йем строго
положительны тогда и только тогда, когда пг > 0, т. е. in > |]|||2. Это
становится очевидным, если мы запишем ДЕм в виде
hEM{x, |) = }т(х, + т'ЧЕ, />)2 Н-
+ 4 ШИ2- *"•<?'
Теперь определим соотношением
ГО, ! > 0,
rEM/A-J
к U Uem(?em. ^ем).
где <7ем = ((0,-1), (0,0)) и V^~ временная эволюция
в Г ЕМ (I) •
Теорема 5.9. Предположим, что m > 0 и |(со)=г^0 &/гч всех ие R. Тогда предел (5.19) существует для всех
(r,/)efем, edc и V0 - временные эволюции в Гем(Е) и Гем(0)
соответственно. Он определяет изоморфизм между ГЕМ(|) и Г0.
Имеем
(й!м^ем) (ffl) = -fh&2 + a- L3(coT и
22)
М^ЕМ = (^EM^EAlJ •
Доказательство аналогично доказательству леммы 5.7 и теоремы
5.8.
Если обозначить {Сф, Pt} гауссовский случайный процесс,
связанный с (5.22) в пределе точечного заряда ?->-(2л;)-'/ге6, то мы
приходим к стохастическим дифференциальным уравнениям (в
обобщенном смысле)
- - aQt и m^Qt + *Qt-4rwQ' = einw<- (5-23>
Гамильтоновы модели случайных процессов
81
К сожалению, уравнения (5.23) обладают тем свойством, что их
единственное невзрывающееся решение является упреждающим
(зависит от будущего). Оно не только неприемлемо с физической
точки зрения, но даже не может быть пределом неупреждающих
процессов.
В самом деле, в пределе точечного заряда, который приводит к
(5.22), происходит что-то неладное. Для любой фиксированной
положительной m "голая масса" m = m-||?||2 становится
отрицательной при достаточно узкой и когда m переходит через
нуль, гамильтониан и его сопряженный становятся
неположительными, так что изоморфизм между ГемШ и Го
нарушается.
Таким образом, имеются две несовершенные нерелятивистские
модели заряженного осциллятора в электромагнитном поле. Одна
дается решением уравнений (5.23). Оно является упреждающим и не
соответствует какому-либо Тем- Другая получается, если
распределение заряда сужается лишь настолько, чтобы голая масса
оставалась неотрицательной. В ней осциллятору приписывается
некоторое, совершенно произвольное, распределение заряда
(называемое форм-фактором или высокочастотным обрезанием).
Обе модели изоморфны Го
6. КВАНТОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ
Квантовомеханическое описание физической системы часто
может быть получено из классического с помощью процедуры,
называемой квантованием. Эта процедура не является четко
очерченной, и многие квантовомеханнческие модели получаются без
ее использования. Однако для гамильтоновых систем с линейным
фазовым пространством и гладкой положительной функцией
Гамильтона эта процедура является действенной и приводит к
физически правильным результатам.
Опишем процедуру квантования. Пусть Д- линейное про-
странство с симплектической формой о. Как и прежде, мы
отождествляем линейную наблюдаемую у^>-о(х,у) с х. Процедура
состоит из кинематической части (а) и динамической части (Ь).
(a) Сопоставим каждой линейной наблюдаемой х е Д
самосопряженный оператор Ф(х) в некотором гильбертовом
пространстве Ж таким образом, что выполняется каноническое
коммутационное соотношение (ККС)
[ф(*), Ф(у)] = о(х, у)- I, (x,ye=W). (6.1)
(b) Определим гамильтониан - самосопряженный оператор Н,
заменяя линейные наблюдаемые х в выражении для h
82
Дж. Т. Льюис, Г. Маассен
операторами Ф(х). Временная эволюция а линейных наблюдаемых
тогда дается соотношением
at(0(x)) - exp{itH)0{x)exp{-itH), (х е / е R). (6.2)
Пусть (c)I - алгебра фон Неймана, порождаемая операторами Ф(х),
(хеТ1-). Самосопряженный оператор ДеЗЯ называется наблюдаемой
квантовой системы. Проекционный оператор называется событием.
Временная эволюция по непрерывности распространяется на всю 24.
Положительный линейный ^-непрерывный функционал со на 24,
такой что со(I) = 1, называется состоянием квантовой системы или
просто состоянием на 24. Вероятность события А в момент t, если
система описывается состоянием ш, есть со (a t{A)).
Для линейных гамильтоновых систем динамическая часть
(Ь) процедуры квантования сводится к тому, что
а< (Ф(х)) = Ф(1Дх), И?) (6.3)
(здесь 17f=V-t). Чтобы это показать, возьмем последовательность
{х,} с= VF, такую что
h^== тТ;°(Х1' У)>2'
/
Тогда (Ь) означает, что Я = ~ Ф (х;-)2 и
1
4i ъ (ф (у)) lt-о;= *• [Н, Ф (У)] = у *' Z [ФW ф (У)] =
1
- уг Y,(2ia(xi' ^)ф (*/)) = Ф^- ?ст(ху, у)х,у
Однако - ?а(*у> у)х, = - Vty \t-0 =Vty \t-0, no- /
скольку для всех геТ
(Z y)Xf, г) = Z <*(*/, y)o(xh z) = 2h(y, z). Поэтому
