Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Квантовые случайные процессы и открытые системы" -> 29

Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.

Холево А.С. Квантовые случайные процессы и открытые системы — Москва, 1984. — 220 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviesluchaynostiprocessiiotkritie1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 78 >> Следующая

Следующая лемма показывает, что Го является весьма
универсальной линейной гамильтоновой системой.
Лемма 5.3. Для любой непрерывной четной и положительно
определенной функции F : R -> R с F(0)= 1 существует
единственная нечетная неубывающая функция Q: [-л, jx]->- R,
такая что для всех le R
Я
±\e"""dB = FV). (5.12)



74
Дж. Т. Льюис, Г. Маассен
Доказательство. Пусть мера р такова, что р - F. Тогда
существует неубывающая случайная величина Q на (-я, я), такая
что р является ее распределением вероятностей. Она задается
формулой1)
Q(0) = sup |<в>0|р([0, со]) - -i-p({0})<^-1, (0 > 0);
Следствие 5.4. Для любой ь чой, четной и положи-
Чтобы перейти к системе Гл, заметим, что последовательность А
определяется соотношением
если Йе12(1-я, я]). Это эквивалентно тому, что р имеет конечный
второй момент. Таким образом, имеет место
Теорема 5.5. Пусть F: К -> R-непрерывная, четная и по-
ложительно определенная функция. Пусть мера р, такая что р -
F, имеет конечный второй момент. Существует модель Форда -
Каца - Мазура Гл, в которой импульс нулевого осциллятора имеет
корреляционную функцию F. Соответствующая
последовательность коэффициентов упругости А дается формулой
оо
Замечания к примеру 5.2. Второй момент меры рои, ассо-
циированной с импульсом процесса Орнштейна - Уленбека
(осцилляторного или скоростей)
бесконечен. В самом деле, уравнение Ланжевена влечет не-
дифференцируемость траекторий {Л/} и это исключает конечность
второго момента соответствующей меры [8]. Поэтому не существует
ФКМ-модели для осцилляторного про-
u Если множество в фигурных скобках пусто, следует положить Q (0) =0. -
Прим. перед.
Q (0) = - Q (- 0), (0 < 0). ?
тельно определенной функции существует линейная
гамильтонова система типа Га, такая что

(Vfpa. V°pQ) = F(t-s).
п
Аа= J Q(0)

Ап - ^ е'пв (га>со2р (da),
(5.13)
- со
где

(5.14)



Гамильтоновы модели случайных процессов
75
цесса Орнштейна - Уленбека (и заведомо для процесса скоростей,
поскольку тот не имеет даже наблюдаемой координаты). Однако,
вводя высокочастотное обрезание при с > 0:
Г Q(0). IWKo
i sign(Q(0)) ¦ с, | Q(0) I > с,
мы получаем функцию Qc в L2{[-я, л]) и, таким образом, ФКМ-
модель ГАс, которая аппроксимирует процесс Орнштейна- Уленбека
с произвольной точностью [6].
В заключение отметим, что рА не является циклическим вектором
для системы Гд, потому что все векторы {Ffp4|/eR} четны.
Нечетная часть отделена от четной. Вследствие этого Гл изоморфна
не L2(R), a L2(R)(r) L2(R) со сдвигами в качестве временных
эволюций. Эти две компоненты переходят друг в друга под
действием оператора, отвечающего смещению цепи осцилляторов на
одно звено.
Пример 5.3: модель Швабла - Тирринга.
Следующий пример носит более реалистический характер. Он
был исследован в начале шестидесятых годов Шваблом и Тиррингом
[21] в качестве грубой модели атома, взаимодействующего с полем
излучения, чтобы получить некоторое представление о действии
лазера. Модель состоит из гармонического осциллятора,
взаимодействующего с трехмерным скалярным полем через "ф - q-
связь". Мы покажем, что в пределе точечной массы осциллятор
удовлетворяет уравнению Ланжевена. Мы дадим описание модели
как линейной гамильтоновой системы, что позволяет дать не только
классическую, но и квантовомеханическую интерпретацию (ср. § 6).
Будем обозначать систему через ГэДр), поскольку она зависит от
выбора функции плотности зарядов р. Система состоит из двух
подсистем. Первая Г^ее- это сферически симметричная компонента
поля.
Пусть free - это пространство пар f = (fj, f2) сферически
симметричных, бесконечно дифференцируемых и быстро убывающих
функций из ^(R3->R). Для всех f,g е ДДее положим
Afree(/) = y 5(liV/l(7)l|2 + /2(7)2)d3n R3
Ofree {f > g)= \ (fl(r)g2(r) - f2(r)g,(r))dr.
R3
Вторая подсистема - это гармонический осциллятор массы m с
коэффициентом упругости а. Полная система опреде


76
Дж. Т. Льюис, Г. Маассен
ляется выбором сферически симметричной функции класса Шварца
р и задается соотношениями
'FsT - 'Fosc е ^free = {(х, f) \х 6= R2, f S ?1гее},
Л§Т (X, /) = Лозе (*) + /if гее (f) + *1 jj р (г) /j (г) с/3Г,
R5
0-ST((^. /)- (0. <?)) = CroSc(^> 0)+fffreetf" ?)•
Временная эволюция в Г^ее описывается сферическими волнами,
набегающими к началу координат, отражающимися от него, и затем
убегающими. Это подобно сдвигам в L2((R), как видно из следующей
леммы.
Пусть g-^g- преобразование Фурье функции любого числа
переменных. Пусть R - отображение, переводящее сферически
симметричные функции на R3 в четные функции на R по формуле
(tfg)AH = g(co, 0, 0). (5.16)
Лемма 5.6. Отображение L: 4rtree->4fo, определенное формулой
Lf = {2ny'hmj + Rf2),
является изоморфизмом между Г(гее и Г0.
Доказательство. Отображение R имеет свойство
(RkУ (s) = - 2nsk (s, 0, 0), (s е R).
Поэтому k и (2л)~'l2(Rk)' имеют одинаковую /Анорму, и это же верно
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 78 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed