Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
для Vk и (2л)-'l2(Rk)". Отсюда следует, что h0°L =
- huee. Кроме того, для всех f,g^Wfree выполняется
оо
a0(Lf, Lg) =¦= (2л)-1 J ((RfJ + Rf2)((Rgiy + Rg2y ds =
- оо
оо
= (2л)-' \((RfiY(Rg2Y-(RhY(R8lY)cls^Ouee(f, g). ?
- оо
Этот изоморфизм позволяет заменить Гиее на Г0 и получить
упрощенную модель Швабла - Тирринга rST'(l), где | =
- /?Р/л/2л::
^ST' ^ ^Osc Ф ^0. °ST' ~ °0зс Ф в0'
Гамильтоновы модели случайных процессов
77
Далее
ОО оо
А|ТЛ*, /) = Yax2\+Tm~'xz + ~J \f'(sfds - x, ?/'a's =
- оо -оо
/ оо V 2
- a-> jj If'dsj +Y>n~1x22 +
+ 1^ J f'(sfds-a-^ \ Sf'dsJJ.
Из второго выражения видно, что /г\т строго положительно
оо
при a > ^ l,{sfds. Сопряженный гамильтониан дается вы-
- оо
ражением
hSJ, {х, /) = -j тх\ + у а"1 (л:2 - (j ?/ ds}2 + ~ (j /2 ds,
где а - "ренормированный" коэффициент упругости: а = = а -
\^2<^s •
Применим теперь тот же метод, что и для модели Лэмба, чтобы
показать что rST'(|) изоморфна Г0: отождествим конфигурацию в Tst'
с соответствующей волной в Г0. Тогда оказывается, что в пределе
точечного заряда, когда р стремится к еб, наблюдаемые ^sr := ((0, -
1)) и pST, := ((1, 0), (0, 0)) переходят в q0 и р0.
Определим функцию ^ : R -*¦ R соотношением
г /,, Г CTsr(^ST'> ^-C^ST')' ^^0,
i > о,
где V*- временная эволюция в Tsrd).
Лемма 5.7. Пусть a > ^ ?2ds и |(со) Ф 0 для всех со е R. Тогда ^
дается соотношением
^(со) - - mco2 + a - ссотц(со))-1, (5.17)
где
tie(a>) = \ e(tm)^-%{s)l{t)dsdt. (5.18)
В частности, функции ^ и ?' непрерывны и квадратично ин-
тегрируемы и стремятся к нулю на бесконечности.
78
Дж. Т. Льюис, Г. Маассен
Доказательство. Поскольку a >^|2ds, то квадратичные формы hsr
и ksv являются строго положительно определенными. Из леммы 4.2
следует, что - ограниченная функция
| ?|(0 | ^ | °ST'(?ST'' ^-<?ST') I ^ 4^ST' (?ST') ' ^ST' (^ST')-
Поэтому h (со) определена и аналитична для всех со в
верхней комплексной
полуплоскости. Используя этот факт при
вычислении преобразования Лапласа, из уравнений движения
получаем (5.17). Из того, что Re щ (и) = у| | (to) |2 > О, следует, что
знаменатель не обращается в нуль при сое R. ?
Теорема 5.8. Пусть а > Vds, I,(to) Ф 0. Тогда для всех (.х, /) е
4rsr- предел
lim V°t°Vit(x, f) (5.19)
оо
существует. Он имеет вид (0,Ь), где fteL2(R). Отображение
ар (х, f)-*b
является изоморфизмом между Tsrd) и Го. Более того,
qst'<7st, = ?*^ и aST>ST, = -?*?'. (5.20)
Доказательство. Используя свойства можно показать,
что
osv({y, 0), Vl_t{x, /)) -*¦ 0, (/-*оо)
и
оо
dl < оо.
Отсюда следует, что предел (5.19) существует и имеет вид (0,Ь).
Отображение Qsr очевидным образом сохраняет a и h. Соотношение
(5.20) вытекает из того, что
оо
lim V"oV\_t(x, 0)=Л (-<xST,(?ST" Vlt (х, 0))V°_tl)dl =
<-*oо J
= (0, ж,(6*5i) -х3(1*Ш ?
В заключение рассмотрим предел точечного заряда. Фиксируем р
и пусть ре (г) = е_3р(г/е). Тогда ре сходится к плотности ед
точечного заряда, где е = ^ p(r)d3r = р(0). Процедура эквивалентна
тому, что в Гэг полагается = (2я)~';' Дре.
Гамильтоновы модели случайных процессов
79
При е 4- 0 интеграл ^ ds сходится к (2JT) 'he, но ds
стремится к бесконечности. Поэтому, чтобы а -а-ИЫ12 оставалось
положительным, а должно также стремиться к бесконечности. Такая
процедура известна как ренормировка коэффициента упругости.
Из (5.17) видно, что в пределе е|0
^Ig^ST' ~ * ?|е И ^l/sr = ~ * ?ie Ро-
Это означает, что в пределе точечного заряда модель Шваб- ла -
Тирринга становится изоморфной модели Лэмба.
Пример 5.4: заряженный гармонический осциллятор в
электромагнитном поле.
Наш последний пример является наиболее реалистичным и
соответственно наименее регулярным. Снова рассмотрим
гармонический осциллятор, заряд которого распределен сферически
симметрично с плотностью р относительно колеблющейся точки. Он
погружен в электромагнитное поле, которое описывается парой
векторных полей (А,Е). Здесь Е - транс- версальная составляющая
электрического поля, а А - магнитный потенциал, так что
магнитное поле есть rot Л. Согласно законам нерелятивистской
электродинамики гамильтониан системы имеет вид
Яем - -9 а IIЯII2 + 2^
- ^ 9 {г - q) A(r)d3r
Р
к
+
+ 5- J (IIЕ (г) |р + || rot А (г) |р) d3r, (5.21)
R3
где q - вектор координат, р - вектор импульса осциллятора.
Симплектическая структура определяется тем, что -Е считается
канонически сопряженным к А. Это означает, что А и -Е играют
роль соответственно первой и второй компонент поля f в форме
сцгее предыдущего примера.
Из-за наличия q в аргументе функции р в первом интеграле
формулы (5.21) ЯЕМ не является квадратичным гамильтонианом.
Чтобы сделать его таковым, мы просто опустим q в аргументе р. Это
известно как дипольная аппроксимация, широко распространенная в
приложениях атомной и молекулярной физики [10].
Второе упрощение состоит в том, что мы забудем о векторной
природе Л, Е, q и р. Это не повлияет на качественное поведение
