Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(Q). Высокая степень локализации в пространстве позво-
140
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. Ш
ляет рассматривать квантовый объект в данном состоянии S как "частицу" с
координатой Е (Q). Согласно '(8.7), скорость этой частицы
это еще раз подтверждает, что оператор Р/ц должен ассоциироваться с
наблюдаемой скорости. Так как объект проявляет себя как классическая
частица, то может быть экспериментально измерена его "классическая масса"
т\ классический импульс, который определяется как произведение массы на
скорость, равен
где Н = т/ц. Таким образом, оператор р*=%Р представляет наблюдаемую
импульса. Дифференцируя это соотношение, получаем согласно (2.6)
По формулам (8.8), (8.4) получаем i[H, P] = t[v(Q), Р] = ** - v (Q),
откуда вытекает "уравнение Ньютона" для рассматриваемого "почти
классического" объекта
Отсюда видно, что функцию ftv (Q) = V (Q) можно интерпретировать как
классическую потенциальную энергию. Формулу (8.4) можно тогда
рассматривать как аналог классической формулы
представляющей полную энергию частицы в виде суммы кинетической и
потенциальной. Полагая здесь
получаем E = hH, где Н - гамильтониан. Динамическое уравнение (2.4) в
представлении Шредингера принимает вид
(tm)^-E,(Q) = -E,(/iv'(Q)).
р^ПР, q = Q, V(Q) = ?v(Q),
НАБЛЮДАЕМАЯ ВРЕМЕНИ
141
Отношение Й = m/ц существенным образом входит в это уравнение и,
следовательно, может быть определено из экспериментов, в которых
обнаруживаются неклассические (волновые) свойства данного квантового
объекта. Величина Й оказывается универсальной постоянной,
пропорциональной постоянной Планка й, а именно й = й/2л. Наличие такой
универсальной постоянной показывает, что существует некоторая
естественная единица массы; постоянная й есть коэффициент, связывающий
единицу массы, принятую в классической физике, с этой естественной
единицей. Если же условиться измерять массу в естественных единицах, то
можно считать Й =* 1 и мы будем иногда пользоваться этим соглашением.
§ 9. Наблюдаемая времени
Одна из известных трудностей интерпретации квантовой механики связана с
невозможностью сопоставить ряду физических величин самосопряженный
оператор, т. е. наблюдаемую в том смысле, который вкладывает в это
понятие традиционная концепция измерения. К таким величинам относится, в
частности, время. Временные измерения столь же обычны в экспериментальной
практике, как и измерения координаты, импульса, энергии, и отсутствие их
математического эквивалента означало бы серьезный дефект теории. Мы
покажем здесь, что измерения времени находят естественное место в
квантовой механике, если воспользоваться неортогональными разложениями
единицы. Таким образом, упомянутая трудность не является органическим
недостатком квантовой теории, а обусловлена узостью традиционной
концепции наблюдаемой.
Рассмотрим время t как параметр семейства состояний
S,= VtSV?,
характеризующий временнбй отсчет в процедуре приготовления состояния.
Напомним, что для любого несмещенного измерения М(dt) параметра i имеет
место соотношение
<9-!>
где Е = НН. Несмещенное измерение можно рассматривать как более или менее
точное измерение времени t, а (9.1)
142
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
является "соотношением неопределенностей", ограничивающим точность такого
измерения. Однако существуют ли вообще несмещенные измерения параметра
времени /? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим условие
ковариантности измерения М (dt) по отношению к группе временных сдвигов
VltM (В) Vt = M (?_,); - со < if < оо, (9.2)
аналогичное условию (4.3) для измерений координаты. Это условие означает,
что перенос во времени процедуры приготовления отражается в
соответствующем сдвиге распределения вероятностей измерения
ц" (Б) = ц* (В_,); - оо < / < оо.
Отсюда при условии конечности первого момента вытекает несмещенность с
точностью до постоянной
Е,{М} = Ео{М} + /.
Поэтому вопрос сводится к построению разложения единицы, удовлетворяющего
условию ковариантности (9.2).
Типичным для квантовой механики является случай, когда энергия ?
ограничена снизу, ?з=е01; это можно усмотреть из формулы (8.4),
определяющей общий вид гамильтониана, и из того, что потенциал v (•)
обычно ограничен снизу. При этом условии не существует кова-риантных
измерений, которые задавались бы ортогональными разложениями единицы. В
этом и заключается математическая формулировка утверждения, что времени t
не соответствует наблюдаемая в традиционном смысле.
Чтобы это доказать, предположим противное и рассмотрим унитарную группу
Ve = $ е1гх/ЛМ (dx),
где М (dx) - ковариантное простое измерение. В терминах этой группы
условие ковариантности (9.2) принимает вид
V7VBV, = e'"/*Ve, или
ViVtV^e-wVt.
НАБЛЮДАЕМАЯ ВРЕМЕНИ
143
Дифференцируя по t при / = 0 и учитывая, что получаем
Отсюда следует, что оператор Я + е имеет ту же нижнюю границу, что и Е,
т. е. Я + е13ге01, где е произвольно. Устремляя е к -оо, мы тогда
получили бы, что (Е) = = [0], так как (ф | Яф) = оо для любого ф Ф 0.
