Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
e^(IR) бесконечно дифференцируемых функций, убывающих вместе со всеми
производными быстрее любой степени Отметим полезную формулу
Wx,v = exp[i (livQ - хР)], (5.5)
где [ivQ - xP - самосопряженное расширение оператора
- хг1 -4, заданного, например, на e?*(|R). Это выте-
кает из того, что семейство t-^-Wtx<tv\ leR, где х, v фиксированы,
образует, в силу (3.2), группу унитарных операторов, причем согласно
(5.1)
J- Wtx, ,"ф (?) |/_о = (ixvQ - хР) ф (1).
Оператор Q действует как оператор умножения на независимую переменную;
поэтому можно сказать , что
124
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ ГГЛ. III
представление Шредингера "диагонализует" наблюдаемую координаты Q. Вводя
дираковские обозначения (см. §§ II.3, II.4), можно условно написать
Q = (Hi dl,
где jН)-"вектор" физически нереализуемого состояния, в котором объект
имеет точно определенную координату t. Для спектральной меры оператора Q
имеет место формальное соотношение
откуда видно, что распределение вероятностей наблюдаемой координаты
относительно состояния S дается формулой
nf (dg) = СЕ I S i ?) (5.6)
где (? | 5 j I') - ядро оператора плотности 5 в (- со, со)
(СМ. § II.7). ДЛЯ ЧИСТОГО СОСТОЯНИЯ 5ф=!ф)(ф
pf (й?) = |(?!ф) d\.
i'
Чем более сконцентрировано это распределение в некоторой точке Q, т. е.
чем меньше дисперсия DiS-(Q), тем сильнее сходство рассматриваемого
квантового объекта с классическим объектом, строго локализованным в
пространстве (частицей).
~ 1 п 1 d
С другой стороны, рассмотрим оператор - .
Его формальные собственные функции j т)) = е'^
описывают физически нереализуемые состояния, в которых объект имеет точно
определенную скорость t]/jli. Распределение вероятностей наблюдаемой Р
относительно состояния S дается формулой
Ps (dtl) = (Л ! S |r))dr]. (5.7)
Заметим, что, переходя к преобразованию Фурье Ф (л) = (Лi Ф). мы получаем
унитарно эквивалентное (так называемое импульсное) представление
канонических коммутационных соотношений, в котором диагоналей оператор Р,
а оператор Q задается оператором дифференциро-
СОСТОЯНИЯ МИНИМАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
125
вания. Функция (t||S|t]') из формулы (5.7) является ядром оператора
плотности S в этом представлении.
Из выражений для Q и Р в представлении Шредингера непосредственно
получаем <2Рф- Рфф =/ф, например, для ifeeT"' (1R), так что на (F (R)
[Q, Р] = П. (5.8)
Это соотношение называется каноническим коммутационным соотношением
Гейзенберга. В то время как правая часть его всюду определена, в левой
находятся неограниченные операторы, и поэтому его нельзя распространить
на всё оЖ". Формально соотношение (5.8) равносильно соотношению Вейля -
Сигала, однако последнее предпочтительнее, так как формулируется в
терминах ограниченных операторов (причем непосредственно связанных с
представлением кинематической группы). Более строгая формулировка
соотношения неопределенностей (5.8) имеет вид
2 1т (<3ф Рф) = (ф ; ф), фЕ & (Q) П SP (Р),
и может быть непосредственно получена из (5.4). Отсюда, пользуясь общим
соотношением неопределенностей (11.6.7), вновь получаем соотношение
неопределенностей Гейзенберга (4.7).
Из соотношений неопределенностей вытекает, что чем более точно
определенной является скорость объекта, т. е. чем меньше Ds(P), тем менее
определенной становится локализация объекта в пространстве. Можно
сказать, что в состояниях с Ds(P)**0 квантовый объект проявляет сходство
с классической волной. Таким образом, в зависимости от приготовления
исходного состояния, квантовый объект в измерениях может проявлять как
черты классической частицы, так и классической волны.
§ 6. Состояния минимальной неопределенности.
Соотношения полноты и ортогональности
Чистые состояния S = S^, для которых достигается знак равенства в
соотношении неопределенностей (4.7), называются состояниями минимальной
неопределенности. Согласно (II.6.8) это имеет место тогда и только тогда,
126
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
когда для некоторого вещественного с
[(Q - Q) + ic(P-Р)]г|> = 0 (<5 = Es(Q), P = Es(P))- (6.1)
Покажем, что для каждого с> 0 это уравнение имеет существенно
единственное решение г|эе=5?2(-оо, оо).
В представлении Шредингера уравнение (6.1) принимает вид
[(?-Q) + c(|-/p)](?!t|>)=0. (6.2)
Решая его и используя условие нормировки § j (? j ф) i2 d\ = = 1,
получаем
<!|"=^ехр[,А5-"=52].
где | k | = 1, с > 0. Полагая k - exp ^ , с = 2ст2 и
обозначая соответствующий вектор состояния | Р, Q; а2), имеем
(Е'Р'* (63)
Смысл параметров Р, Q, о2 очевиден; Р и Q являются средними значениями
наблюдаемых Р и Q, а
a2 = Ds(Q) = [4Ds(P)]-1.
Состояния минимальной неопределенности | Р, Q; о2)х х(ст2; Q, Р|
называются иногда "волновыми пакетами". Особую роль играет основное
состояние с нулевыми средними значениями
(ЕЮ. °; ^,=?7Л^ехр(-^). ,6.4)
Вектор состояния | Р, Q; о2) получается из основного действием
оператора сдвига W^ ^ :
\Р, Q; ст2) = Г-0 -J0, 0; а2). (6.5)
Покажем, что для любого_фиксированного ст2 семейство векторов {| Р, Q;
