Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим тензорное произведение (r)а/Т0 и действующие в нем операторы
Р = Р <8> I0 + lo (r) Ро> Q"=Q(r)I0-I(E)Qo. (7.9)
где 10 -единичный оператор в в2Г0. Для определенности можно рассматривать
представления Шредингера Q = lv
$ я СОВМЕСТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ КООРДИНАТЫ И СКОРОСТИ Нй
Р= i-iJL в = и Q0 = Ро = 1-1щ^ в =
= .S?a(IR), где ^ - независимые переменные; тогда
Наблюдаемые Р, Q коммутируют и, следовательно, они совместно измеримы в
смысле § II.6*), т. е. существует ортогональное разложение единицы Е (dx
dv), которое является совместной спектральной мерой операторов P/ll, Q.
Пусть вспомогательная степень свободы а2Г0 описывается состоянием S0 = j
if) (if |, где вектор задается в представлении Шредингера функцией ф(?2)
= (?21 Ф)> комплексно сопряженной к функции ф(|) = (||ф) вектора ф из
(7.5). В частности, если ф -основное состояние, то ф = ф. Мы покажем, что
совокуп-ность (а/'Г0, S0, Е) является реали-зацией измерения (7.5),
однако прежде выясним ее кинематический смысл. Рассмотрим движение
квантовой "частицы" в плоскости ?lt |2, и пусть P = Ph, Q = Qg, -
канонические наблюдаемые, соответствующие оси |х. Введем новую Рис.
10.
систему координат ?(, повернутую относительно исходной на угол -л/4 (рис.
10). Канонические наблюдаемые вдоль новых осей найдутся по формулам
Рц - <-¦ 4 - № Г (4г + fc) - V*" ^,+Рг,).
Qtj = |( = У2-1 (Ех - Б,) - У2_1 (Qfe, - %).
Пусть теперь состояние частицы приготовлено таким образом, что степень
свободы |2 описывается состоянием S0.
*) Это вытекает иа того, что коммутируют унитарные группы {е*%
1*4
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКВ [ГЛ. III
Если 50 - основное состояние, то это означает, что частица совершает
движение вдоль оси а перемещения вдоль направления обусловлены лишь
неустранимыми квантовыми флуктуациями. Наблюдаемые Ротносятся к взаимно
перпендикулярным направлениям и допускают совместное измерение. С
точностью до несущественного масштабного множителя они совпадают с Р и Q.
Предложение 7.1. Совокупность (<Жй, S0, Е (dx dv)), где Е -совместное
спектральное разложение операторов Р/р., Q, образует реализацию измерения
(7.5) в том смысле, что
Ml (r) s" (dx dv) - us (dx dv)
для любого состояния S в <Ж.
Доказательство*). Рассмотрим характеристическую функцию (преобразование
Фурье) распределения вероятностей измерения ? относительно состояния 5
<g> S0. Согласно формуле (11.6.5), оно равно
J J el ^ s^dx dv) = Тг S <g>
(коэффициент ц введен для удобства обозначений). Учитывая (7.9),
получаем, что это равно
Tr Se1 <W+пР) .(ф|е' <- IQo+пРоЦр).
Преобразуем второй сомножитель, используя (5.5), (5.1). Имеем
(ф | е*Wo + вРо)ф) =
= (Ф I W-в, = $ Ф (Х) ^+ 2 ^ -
= (ф | W 6Л1ф) = TrS#* <W.+чр.) .
Вводя обозначение
•F*6[S] = TrSe,<'iJ, + N>f (7.Ю)
мы можем записать характеристическую функцию в виде & я.б[5]-аГ 4.6[S,].
*) В доказательстве нам придется использовать след ядерных операторов (§
II.7) и некоторые факты, которые будут доказаны в гл. V.
$ 7) СОВМЕСТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ КООРДИНАТЫ И СКОРОСТИ 135
Дальнейшие рассуждения опираются на свойства "некоммутативного
преобразования Фурье" (7.10), которые мы установим в гл. V. В частности,
в § V.3 будет доказано, что для любого оператора плотности функция (7.10)
квадратично-интегрируема. Поэтому определено обратное (обычное)
преобразование Фурье характеристической функции
_L j j dl, (7.11)
которое дает плотность распределения вероятностей р| s Используя свойство
3) из § V.3, имеем
4s[S*] = ^ vS^W*x
Согласно равенству Парсеваля (V.3.5) для некоммутативного преобразования
Фурье, выражение (7.11) равно
(2^ 5 5 А.6[S]Sibi[Wx. vS^Wt v] йц dl =
= Tr swx. vS+w I v = (ф I w;. 0sw Xi ,4,) ?,
что совпадает с плотностью распределения (7.6).
Теперь • мы покажем, что каноническое измерение является в некотором
смысле наилучшим среди всех ковариантных измерений координаты - скорости
вида (7.5). Заметим, что всякое ковариантное измерение дает несмещенные,
с точностью до постоянной, значения параметров X, V.
Ех {Ж} =з $$ xnsx v (dх dv) = xQ + x,
Ev {M} aa 5 $ vnsXt v (dx dv) = v0 + v.
Из ковариантности также следует, что в предположении конечности вторых
моментов маргинальные дисперсии
Dx {Ж} - $ $ (х - Ех {Ж})2 р^ (dx dt>),
D" {Ж} - \ J (v - Ev {Ж})2 р^ (dx dv)
не зависит от параметров х, v и равны своему значению для исходного
состояния S. Тогда для любого кова-риантного измерения вида (7.5) в силу
доказанного
136
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
предложения и соотношений (7.9)
D*{M} = Ds (Q) + Ds. (Qo), D, {M} -
В качестве меры точности совместного измерения параметров х и v возьмем
взвешенную сумму маргинальных дисперсий
где gx, gv> 0 - произвольные коэффициенты. Подставляя сюда (7.12),
учитывая соотношение неопределенностей Ds0 (Qo) Ds " (Р0) 5s 1/4 и нер
авенство а + Р=э=2 у~сф
(ос, (3 5^0), получаем, что
{М} S^gx Ds (Q)+gv Ds (P/ll) + ir1V'gxgv> (7.14)
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда S0 - основное
состояние j0, 0; a2) (а2; 0, 0|, где
