Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
состояния в а. Отождествим с подпространством пространства а/У' 0 0,
состоящим из векторов вида j ф) 0 0)0,
ф е . Тогда с; 0 вЖ'0 и оператор а* является нормальным расширением а*,
так как
"*[1 ? (r)|0)о]=а*|Ф)(§)|0)"+|ф)(r)ар|0)о = а*|ф).
КВАНТОВАЯ ЧАСТИЦА В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
161
§ 12. Квантовая частица в трех измерениях.
Случай нулевого спина
В реальном случае трехмерного координатного пространства роль
фундаментальной группы симметрий играет полная галилеева группа
преобразований (1.1) и речь идет об описании всех неприводимых
представлений этой группы. Однако специфика трехмерного случая в полной
мере проявляется уже при рассмотрении группы кинематических
преобразований
l' = Rl + x + vt. (12.1)
Параметрами этой группы являются вектор переноса х, относительная
скорость v и матрица вращения R, и задача заключается в описании всех
неприводимых представлений (х, v, R)-+Wx,v,r этой группы.
Опишем конструкцию неприводимого представления, которая базируется на
представления подгруппы, отвечающей поступательным степеням свободы:
i' = S + jv + vt. (12.2)
Как в одномерном случае, можно показать, что всякое проективное
представление (х, v) ->¦ Wx, v группы преобразований (12.2) может быть
сведено к представлению канонического коммутационного соотношения Вейля -
Сигала
Wхх, v, Wх,. Vg - exp ^(•*¦11 -^2' (r)i)j WXl-{-x,, ",+",¦ (12-3)
Представление Шредингера для (12.3) в пространстве "S?2((R3) задается
формулой
Wx, "Ф (I) = exp [ipn • (ъ - у)] ф (I - х).
Как и в одномерном случае, это представление неприводимо, и всякое
неприводимое представление унитарно эквивалентно представлению
Шредингера. Канонические наблюдаемые в этом представлении имеют вид Р/ =
|/,
Ру = Ы~1щ:ш, / = 1, 2, 3; они удовлетворяют коммутационным соотношениям
Гейзенберга
[<7/. Рк] = Щь, [Pj, Pk] = [qj, Як] = 0; /, k = \, 2,3. (12.4)
§ А. С. Холево
162
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
Для любого вращения R определим оператор Wr в X2 (R3), полагая
= (12.5)
Тогда R^-Wr, очевидно, является унитарным представлением группы вращений,
а формула
(х, ъ, R)^Wx,v,r = Wx,vWr
определяет проективное представление группы (12.1) в =S?2(R3). Это
представление неприводимо, так как неприводимым является даже его
ограничение на группу преобразований (12.2).
Как мы увидим далее, эта конструкция не исчерпывает всех неприводимых
представлений кинематической группы; она отвечает так называемому случаю
"нулевого спина". Рассмотрим этот случай подробнее.
Остановимся на действии представления (12.5) группы вращений в ^2(1R3).
Заметим, что всякое вращение является вращением вокруг некоторой оси п. В
самом деле, вращение задается трехмерной ортогональной матрицей R.
Поскольку характеристическое уравнение для R имеет третий порядок, оно
имеет хотя бы один вещественный корень. Как все собственные числа
ортогональной матрицы, этот корень равен по модулю единице. Поскольку
рассматриваются лишь собственные вращения (det /?=1), то мы приходим к
заключению, что существует хотя бы одно собственное значение матрицы R,
равное единице. Если п - соответствующий собственный вектор, то Rrt - n.
Это означает, что ось п остается неподвижной при преобразовании R, так
что R является вращением вокруг оси п на некоторый угол ф. Положим # =
/?" ф. Семейство - оо<ф<;оо} образует группу вращений вок-
руг фиксированной оси п, а операторы Уф = WRn - представление этой
группы, т. е. однопараметрическую группу унитарных операторов в = =5?2
(R3). По теореме Стоуна
Уф = ехр ( - щЬп/К),
где Ln - самосопряженный оператор. Чтобы найти выражение для Ln в
J^flR8), достаточно рассмотреть вращения
вокруг оси п = п1е1 + п2е2 + naes на беско-
КВАНТОВАЯ ЧАСТИЦА В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
163
нечно малые углы ф. Нетрудно найти, что матрица такого вращения дается
приближенным выражением
где
0 "3 3
/+ф - "3 0 л 1 = /+ф I J
п2 - "1 0 _ / = 1
\ 0 0- '0 0 (Г
/= 0 1 0 ) Dx = 0 0 1 >
0 0 1 ,0 - 1 0,
0 0 г ¦ 0 1 0"
D,= 0 0 0 , D3 -1 0 0
_1 0 0_ 0 0 0.
В частности, матрица бесконечна малого вращения вокруг /-й координатной
оси еу дается приближенным выражением /+фDj. Отсюда следует, например,
для е3
IVMSi. У У ^ + ФУ ?2 -ФУ
Поэтому на e^(|R)
(12.7)
где L3 = Le" или
ftPa ftPi - 7/3,
и аналогично для Ьг=Ье1, L2=L"2. Вводя векторные обозначения <7 = [ft,
ft, ft] и т. д., эти соотношения можно записать в виде
qxp = L, (12.8)
напоминающем определение угловогомомента (момента импульса) в
классической механике. Рассматривая бесконечно малое вращение (12.6)
вокруг оси п, получаем
(12.9)
164
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
Оператор L" называется наблюдаемой углового момента вокруг оси п. Из
(12.9) можно получить соотношение
где фу = фЯ/, /= 1, 2, 3, задающее в параметрической форме операторы
представления Wr через операторы углового момента относительно трех
координатных осей Lx,
Используя коммутационные соотношения (12.4) и выражения (12.8) (или
непосредственно аналитическое выражения для Ly в J62 (R3)), получаем на
