Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
однако, рассматриваются только ортогональные разложения единицы (см.
также комментарии к § IV. 11).
§ 5. Теорема единственности была доказана в работе фон Неймана [102]. Ее
можно рассматривать как частный случай "теоремы импримитивности" Макки
[64] (см. Яух [134]).
§ 6. Состояния минимальной неопределенности были введены Шре-дингером.
Соотношение полноты получено Баргманом [5] и Глаубером [33]. См. также
Каррутерс и Нието [45], Переломов [79].
§ 7. Совместные измерения обсуждались с разных точек зрения многими
авторами; см. фон Нейман [101], Гордон и Люиселл [35], Ше и Хеффнер
[130], Пруговецки [83], Дэвис [38]. Настоящее изложение следует работам
Холево [114], [117] и Хелстрома [109].
КОММЕНТАРИИ
173
§ 8. Уравнение, предложенное первоначально Шредингером и положившее
начало современной квантовой механике, соответствует задаче на
собственные значения Яф = Яф. Шредингер пришел к нему, пытаясь найти
дифференциальное уравнение для стационарных "волн материи" де Бройля.
Связь уравнения Шредингера с представлениями группы Галилея была осознана
позже (Инёню и Вигнер [44], Баргман [5]). В этом параграфе мы в основном
следуем книге Яуха [134]. Тот факт, что квантовый гамильтониан имеет тот
же вид, что и классическая энергия с заменой классических величин на
соответствующие операторы, является одной из форм "принципа
соответствия".
Наметим здесь совсем кратко еще одну линию, связывающую квантовую
механику с теорией вероятностей. Формальная замена it на t переводит
уравнение Шредингера в параболическое уравнение теории диффузионных
процессов, а унитарную группу {V(}~ в некоторую сжимающую полугруппу в
гильбертовом пространстве. Основываясь на этом, можно установить связь
между квантовой динамикой и некоторым диффузионным случайным процессом
(формула Фейнмана-Каца- Нелсона). Полевой аналог этой формулы является
важным аналитическим орудием конструктивной теории поля. В работах
Нелсона [74], [75] делается попытка рассмотреть диффузионный процесс как
динамическую модель квантовой теории со скрытыми переменными
§ 9. Невозможность введения наблюдаемой времени в рамках традиционной
концепции измерения обстоятельно обсуждалась Оллкоком [77]. В этой
статье, в частности, рассматриваются и восходящие
к Паули попытки использовать оператор Ш который, однако, отвергается как
несамосопряженный. Материал настоящего параграфа взят из статьи автора
[124].
§ 10. По поводу математических проблем квантовой динамики см. Рид и
Саймон [85], где можно найти дальнейшие ссылки. Осциллятор
рассматривается почти во всех учебниках квантовой механики. Мы следуем
Дираку [37] (см. также Люиселл [63], где можно найти интересное описание
формальной алгебры операторов рождения и уничтожения).
Корректное определение 'оператора фазы дали Каррутерс и Нието [45] (см.
также Волкин [28]). По поводу полярного разложения см., например, Рид и
Саймон [85], относительно класса Харди см., например, Халмош [104].
§ 11. Представление по "когерентным состоянием" для многих степеней
свободы рассматривали Баргман [5], Глаубер [33], Клаудер и Сударшан [49].
Аналогичное представление для случая свободного поля рассматривал Березин
[10].
Ограниченные субнормальные операторы ввел Халмош (см., например, [104]).
См. также Секефальви-Надь [89].
§§ 12, 13. О применениях представлений группы вращений в квантовой
механике см. Вигнер [26], Яух [134], Макки [65]. Систематическое изучение
представлений группы вращений проводится в книгах Гельфанда, Минлоса,
Шапиро [32] и Желобенко [42].
Глава IV
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
§ 1. Параметрические группы симметрий и ковариантные измерения
Все рассматривавшиеся нами группы симметрий являются параметрическими
группами преобразований. Это означает, что задано некоторое
параметрическое множество 0 = {б}, т. е. непрерывное многообразие в
конечномерном пространстве, и элементы группы G = {gj действуют как
непрерывные взаимно-однозначные отображения множества 0 на себя, g: 0-
>g0. Более того, группа G также предполагается параметризованной так, что
групповое произведение gxg2 (композиция преобразований) является
непрерывным в этой параметризации.
Таковы группа сдвигов вещественной прямой [R, группа сдвигов интервала
[0, 2л) по модулю 2л, изоморфная группе поворотов единичной окружности Т"
а также группа вращений трехмерного евклидова пространства R3. В
последнем примере естественно рассматривать действие группы лишь на
единичные векторы (направления) в R3. Таким образом, группу вращений
можно рассматривать также как группу преобразований (движений) единичной
сферы S2 в R3-
Пусть G - параметрическая группа преобразований множества 0 и g ->¦ Vg -
непрерывное проективное унитарное представление группы G в гильбертовом
пространстве Пусть М (d6) - измерение со значениями в 0,
т. е. разложение единицы в <М' на борелевских подмножествах 0. Измерение
М (d0) назовем ковариантным по отношению к представлению g -у- Vg, если
