Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(г | а*ф) = г (г | -ф); оператор
уничтожения имеет вид ^ + у-
Представление в пространстве S2 ((D) иногда называется представлением
Баргмана. Изометрический переход между представлениями Баргмана и Фока
дается ядром (11.6); между представлениями Баргмана и Шредингера - ядром
ft | z) = (nh/ta)-1/* ехр|^- (]/"Jу 1 - *) /2 - | г j2/2],
которое получается из формулы (6.3).
Неортогональное разложение единицы (7.7) в терминах комплексной
переменной г принимает вид
Л22
M(d2z) = \z)(z\~.
Применяя формально к равенству (П.5) операторы а и а* и учитывая (11.3),
получаем "спектральные разложения"
а*= | zM (d*z), j гМ (d2z).
С С
Этим соотношениям легко придать точный смысл. Заметим, что для (а*)
| а*ф |2 = ^ | z |2 |(ф | z)|2 ~ . (11.7)
В самом деле, согласно (11.3), (11.5) |а*ф [|2= ^ |(а*ф | z)|2 =
Sd22
I * Iй |СФ 1 г)12 * Таким образом,
(я*) = |ф'. ^ 1*|1КФ!г)|г^<оо|. (11.8)
Для любого (а*) сходится интеграл j | z [2 (ф | М (d2z) ф),
а следовательно, и интегралы (<р | а*ф) = j 2 (ср | М (d2z) ф), (ф | аф)
= =" j г (ф | М (<#г)ф). Резюмируя, можно сказать, что оператор а* и
разложение единицы М (d2z) связаны соотношениями
(а*) = {ф: j | г |2 (ф | М (d^z) ф) < оо};
| а*ф р = j (ar I* (ф j Af (d2z) ф), фе1(и*); (11.9)
(ф | а*ф) = j г (ф | М (d2z) ф), ф, ф е (а*),
f 11] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
159
подобными тем, которые связывают максимальный симметричный оператор и его
спектральную меру (см. § II. 4).
Однако оператор а* не является самосопряженным нли даже симметричным.
Одним из следствий этого является то, что должна быть уточнена формула
для функций от оператора а*. Применяя к равенству (11.5) слева оператор
ат, а справа - оператор (а*)п, получаем
ат(а*)я = j 2mznM (d2z).
С
Важно заметить, что порядок операторов а и а* в левой части играет
существенную роль, так как а и а* не коммутируют! Такой порядок, при
котором все операторы а* следуют за а, называется нормальным. Отсюда
можно получить формулы типа
F (а, а*) = j F (г, 2) М (d2z)
для функций F (•, •), разлагающихся в достаточно быстро сходящийся
степенной ряд по г и 2, причем под F (а, а*) понимается нормально
упорядоченное выражение.
Далеко не всякий оператор в гильбертовом пространстве обладает
спектральным разложением типа (11.9). Выясним, благодаря какому свойству
оператора а* такое разложение оказывается возможным. Для этого необходимо
напомнить понятие нормального оператора. Ограниченный оператор X
называется нормальным, если [X, Х*]=0; это равносильно тому, что | Хф ||2
= [ Х*ф |2, ф е . Плотно определенный (неограниченный) оператор X
нормален, если Ш (Х) = 2Р (X*) и I Хф [2 = | Х*ф |2, фе (X). Для
нормального оператора существует единственное ортогональное разложение
единицы Е (d2z) на С такое, что
& (Х) = {ф: j | z |2 (ф | Е (d2z) ф) < со};
[Хф Р=" j | г |2(ф I ? (^2г)ф), фе^(Х);
(<р | Хф) = jz (<р | Е (^2г)ф), ф, фе^(Х).
Таким образом, нормальные операторы, как и самосопряженные,
гдиагонализуемы", но могут иметь комплексный спектр.
Плотно определенный оператор У в аЖ" назовем субнормальным, если он
расширяется до нормального оператора X в некотором гильбертовом
пространстве s5ST гэ т. е. Уф =Хф, ф е <3? (К).
Оператор субнормален тогда и только тогда, когда существует разложение
единицы М (d2z) такое, что
0& (У) = {ф: j | г р (ф | М (d2z) ф) < оо};
II Уф !|2 = j \г I2 (ф I КИФ), ф е^(У); (11.10)
(Ф I Уф) = j г (Ф I М {d2z) ф), ф, ф 6= (У).
160
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ГГЛ. III
В самом деле, если X -нормальное расширение оператора Y, то разложение
единицы
M(d?z)^EE (d2z)?,
где Е - проектор на исходное гильбертово пространство, удовлетворяет
соотношениям (11.10). Обратно, пусть существует разложение единицы
M(d2z), удовлетворяющее условиям (11.10). Пусть Е (d2z)- построенное по
теореме Наймарка (см. § II. 5) ортогональное разложение единицы в
расширенном пространстве. Тогда оператор X = =" J zE (d2z) с
соответствующей областью определения будет нормальным оператором, причем
[|Хф |2 = j |z|2(ф | ?((12г)ф) = j |г|2(ф ! М(d"z)ф) = =• [ Уф J2 для ф e
gp (У). Из последнего соотношения (11.10) вытекает, что ЁХф"=Уф для
1))eJ?(K), так что [ Хф |2=|| ЁХф ||2, откуда Хф = ёХф = Уф, фе J?'(У).
Таким образом, X является расширением оператора Y.
Примером субнормального (ограниченного) оператора является оператор Р*,
сопряженный к оператору фазы Р гармонического осциллятора. Его нормальное
расширение наглядно изображается блочной матрицей
0
0 1 0 1 0
о
о
0
1 о
1 о
о •
причем исходный оператор Р* изображается блоком, находящимся в правом
нижнем углу.
Из соотношений (11.9) и доказанного утверждения вытекает, что оператор
рождения субнормален. Построим его нормальное расширение. Для этого
рассмотрим коммутирующее расширение (7.9) пары операторов Р, Q. В
терминах операторов а, а* оно запишется в виде
а = а01о + 10а%, a* =a*<g)/0 + /(g)ao.
Операторы а, а* нормальны. Пусть 10)00 (01-оператор плотности основного
