Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим операторы сдвига в (0, оо)
Р* е^е'
eVe \ 0, 8<е
(рис. 11). Семейство {Ре; е^О} образует полугруппу изометрических
операторов в (0, оо). Операторы Ре необратимы, хотя Р*Ре= I, е0. Легко
убедиться непосредственно, что
Pe = \eie'/*M{di),
где М (dx) - разложение единицы (9.5), отвечающее оператору T = ih^. В
этом смысле Рв = ехр (ieT/h), хотя Т
не является самосопряженным оператором. Полугруппа {Рг} связана с
динамической группой {Vt} соотношениями
VfPeVt = еш!*Ре, Р*VtPе =* e-MVt',
- code оо, 0ss;е, (9.8)
формально совпадающими с соотношениями Вейля (4.1),
(4.2).
Как и с любой наблюдаемой, с наблюдаемой времени можно связать свое,
"временное" представление, в котором оператор времени диагоналей; подобно
тому как импульсное представление является преобразованием Фурье
представления Шредингера, временное представление определяется как
преобразование Фурье энергетического представления:
*(/)" via Р"л
о
Таким образом, пространство временного представления оказывается
связанным с известным в математике классом Харди 2 для полуплоскости.
§ 10. Квантовый осциллятор
Формальное выражение для гамильтониана дается соотношением (8.4); однако
для того, чтобы это выражение определяло динамику, т. е. унитарную группу
Vt = e-ttH, leR, оператор Н должен быть существенно самосопря-
148
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
женным. Доказательство этого свойства для различных потенциалов V (•)
является одной из основных математических задач квантовой механики.
Другой важной задачей является спектральный анализ гамильтониана. Этим
задачам посвящена обширная литература, указания на которую можно найти в
комментариях. Поскольку их рассмотрение не входит в наши цели, мы
ограничимся простейшим, но весьма важным и необходимым для дальнейшего
примером квантового гармонического осциллятора.
Рассмотрим гамильтониан
(10Л)
В классической механике такое выражение для энергии соответствует
осциллятору с массой т и частотой га. Условимся всюду далее считать /л =
1, так что Й = 1 /р.. В представлении Шредингера оператор энергии
принимает вид
E~T{-hiw + (*v)' (10-2)
Поскольку Е представляет собой сумму неограниченных операторов, возникает
вопрос, определяют ли выражения
(10.1), (10.2) существенно самосопряженный оператор.
Прежде всего отметим, что выражение (10.2) определено на пространстве 3*
(R). Это пространство инвариантно относительно операторов р и q и любых
полиномов от р и q, в частности относительно Н. Введем на 3* (R)
операторы
"-j7SS<""+W.
Заметим, что (ср | ш|з) =" (а*ср | if) для <р, \|j е 3" (R), что
оправдывает обозначение а* для второго оператора (хотя, если считать
областью определения оператора а пространство <^(R), то область
определения а* будет шире R)). В дальнейшем мы построим расширения
операторов а и а*, так что а* в точности будет сопряженным к а.
Операторы а и а* удовлетворяют на 3* (R) коммутационному соотношению
[а, а*] = I.
(10.3)
квантовый осциллятор
149
ft(D
Выражая оператор Е через а и а*, имеем ? =-у (аа*+ -|-а*а) = йо)^а*а-|--
^, откуда
? = ft(o(w + i), (10.4)
где N = а*а. Теперь, пользуясь коммутационным соотношением (10.3), мы
определим собственные числа и собственные векторы операторов N и Е и
построим их самосопряженные расширения. Из (10.3) вытекает, что на <?*(R)
имеют место соотношения
JVan = an(JV - п), Na*n==a*n(N-\-ny, п = 1, 2,... (10.5)
Заметим теперь, что вектор основного состояния 10) == = |0 ,0,
определяемый в представлении Шредингера функцией
(5|0,.(f)-/'exp(-f),
удовлетворяет соотношению (<aq-\-ip) ] 0) =0, откуда
а 10) "= 0, JV|0) = 0,
так что |0) является собственным вектором оператора N, отвечающим
нулевому собственному значению. Применяя второе из соотношений (10.5),
получаем Af(a*y |0) = = п (а*)л 10), так что вектор | ф") == (а*)п) 0)
является собственным вектором оператора N, отвечающим собственному
значению п; п = 0, 1, ... Поскольку оператор N симметричен, система {|
г|)")} ортогональна. Чтобы построить ортонормированную систему, найдем ап
= У (фл | ф"). Имеем а0 = У (010) - 1 и а\ = (ф^ | aa*^^) =
- (ф"_1|(Л^-1-1)фл-х) = ла^_1, откуда a" = lf\fn\. Итак,
последовательность
|д) = р4г(а*У|0); п = 0, 1............ (10.6)
150
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
является ортонормированной системой собственных векторов оператора N. В
представлении Шредингера
л = 0, 1........ (10.7)
где Нп (•) - многочлены Эрмита. Известно, что функции (10.7) образуют
полную ортонормированную систему в .S?2([R), так что
21 Я) (Л 1 = 1- (10.8)
П±= 0
Таким образом, найден базис из собственных векторов оператора N.
Поскольку Е выражается через N по формуле (10.4), то этот же базис
является базисом из собственных векторов оператора Е, причем
Е\n) = %(a[n-\-^j\n)-, п= 0, 1, ...
Эта формула показывает, что энергия квантового осциллятора может
принимать дискретный ряд значений ^ Асо,
••• " + ... В физике принято называть п
числом квантов, так что вектор | п) описывает "состояние с п квантами". В
