Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
gg, g'e/1}-правый сдвиг множества Л. Из общей теории непрерывных групп
известно, что на всякой параметрической группе существует
левоинвариантная мера. Если существует инвариантная (т. е. лево-и
правоинвариантная) мера, то группа называется уни-модулярной. Если группа
компактна (т. е. является ограниченным и замкнутым подмножеством
конечномерного пространства), то всякая односторонне инвариантная мера
является инвариантной (в этом случае мы всегда будем нормировать ее так,
что p(G) = l). В дальнейшем мы будем иметь дело только с унимодулярными
группами.
Если G0 также унимодулярна, то на 0 существует мера v, инвариантная
относительно сдвигов
v (Bg) = v (В); geG, Ве<г/(0).
Если G0 компактна (что мы и будем далее предполагать), то эта мера может
быть построена как образ инвариантной меры р на G при отображении
у(В) = р(0-1(В)),
178
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. IV
где 0_1(ZJ) = {g: g60 еВ| - прообраз борелевского подмножества Вс0. Для
любой интегрируемой функции /
]f(g%)v(dg)= S/(0)v(rf0). (2.1)
а в
Инвариантность v следует из левоинвариантности р. В силу
правоинвариантности р полученная таким образом мера v не зависит от
выбора исходной точки 0О, так как если 0i = gA> то
v(B) = p{g: g0of= 5} = p{gg,: ^10oeS} = p{g: gSjeB}.
Классическим примером инвариантной меры является мера Лебега dx на
группах сдвигов IR и Т. В случае группы вращений инвариантная мера v на
S2 с точностью до множителя совпадает с евклидовой площадью на единичной
сфере. Выражение для элемента инвариантной меры р на группе вращений
будет приведено в § 5.
Предложение 2.1. Пусть М(йв) - измерение, ко-вариантное по отношению к
проективному унитарному представлению g -*¦ Vg группы G. Для любого
состояния S и любого борелевского Вс0
]TrVgSViM(B)li(dg) = v(B). (2.2)
о
Доказательство. Используя (2.1), получаем
$ Tr VgSViM (В) р (dg) = $ Tr SM (Br-г) В (dg) = а а
= $ $ Mg0o) M'S W И
О 8
где ps (dB) = Tr SM (dd) - распределение вероятностей измерения M(dQ).
Используя соотношение (2.1) и тот факт, что мера v не зависит от выбора
0О, получаем, что это равно
$ Bs (<А) $ h (gOо) В (dg) = v (В). в о
Используя этот результат, мы получим теорему, дающую описание
ковариантных измерений в случае конечномерного представления g-> Vg.
Требование конечномерности позволяет избежать ряда технических
трудностей;
§21
СТРУКТУРА КОВАРИАНТНОГО ИЗМЕРЕНИЯ
179
как мы далее убедимся, ковариантные измерения имеют аналогичную структуру
и в бесконечномерном случае.
Нам понадобятся интегралы от операторнозначных функций. В конечномерном
случае оператор задается своей матрицей, имеющей конечное число
компонент, и интеграл легко определяется покомпонентно.
Теорема 2.1. Пусть измерение M(dQ) ковариантно по отношению к
конечномерному представлению g-*- Vg. Тогда существует эрмитов
положительный оператор Р0, коммутирующий со всеми операторами {Vg; g
<^G0\ под-представления стационарной подгруппы G0 точки 0О такой, что,
полагая
P(gQ0) = VgP0V*g, (2.3)
имеем
АГ(В) = $ Р (в) v (dQ) (2.4)
в
для любого борелевского В с (c).
Примечание. В силу условия [Я0, Vg] = 0, g е G0, формула (2.3)
действительно определяет однозначную операторную функцию на 0. Мы будем
символически записывать (2.4) в виде
M(dQ)=VgP0V*gv(dQ), (2.5)
подразумевая, что g и 8 связаны соотношением g60 = 6. Такое разложение
единицы не может быть ортогональным, поэтому в конечномерном случае
ковариантных простых измерений вообще не существует.
Доказательство. Пусть d = d\m<^T. Полагая в
(2.2) S = d~1I, получаем Тг М (В) = d_1v (В). Отсюда следует, что
положительная операторнозначная мера М(dQ) дифференцируема по скалярной
мере v(d0), так что
M(B) = $/>(0)v(d0), (2.6)
в
где Р (•) - определенная однозначно v-почти всюду положительная
операторнозначная функция, называемая плотностью меры М (dQ) по мере v
(dQ). Для доказательства фиксируем базис {е/} в и рассмотрим матричные
элементы (et | М (В) е,). Как функции множества В, они
180
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. IV
являются комплекснозначными мерами, которые мажорируются мерой v, точнее,
Ве(r)/(0). (2.7)
В самом деле, из положительности оператора М (В) и неравенства Коши -
Буняковского следует
\(е,\М (В) ej)! < V(et\ M(B)ej) {е,\ М{В)е,) и 0 ^ (et | М {В) ej^ d-1v
(В), так как
Tr М {В) = 2 (et | М (В) ej) = <Hv (В).
i
Из теоремы Радона - Никодима для скалярных мер вытекает, что
(е{ | М (В) ej) - § ptJ (0)v(d0), в
где Ру{-) - скалярная плотность, определенная однозначно v-почти всюду и
удовлетворяющая, в силу (2.7), неравенству | pv(0)X?H. Пусть Р (0) = ^
ptJ (0) j ej (es \ - опера-
ч
тор, имеющий матрицу [рг/(9)] в базисе {е,}; тогда имеет место (2 6).
Положительность Р(0) v-почти всюду следует из положительности операторов
М (В).
Из условия ковариантности (2.1) вытекает
$viP(e)Vgv(ae)= ^ P(0)v(d0)=S/>te-i0)V(d0), в. в
откуда, в силу единственности плотности,
VgP (О) Ve = P[g-4)
для v-почти всех 0. Полагая Ро = Р(0о), получаем (2.3),
