Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Мы укажем неортогональное разложение единицы, удовлетворяющее условию
ковариантности (9.2).
Соотношение (0.2) удобно рассматривать в "энергетическом" представлении,
которое диагонализует оператор энергии Е. Для определенности мы подробно
рассмотрим случай свободной частицы в одном измерении. Так как энергия и
импульс свободной частицы массы т связаны
соотношением Е = ~-, то в импульсном представлении,
оператор энергии будет задаваться умножением на г)а/2т. ПоЛагая e =
r)2/2m, имеем
а (фз |2 = фефе - евклидова норма двумерного вектора фе е е (D2. Формула
(9.4) определяет изометрический переход от импульсного представления ф
(ц) к энергетическому представлению фе, в котором гамильтониан задается
умножением на переменную е, а группа временных сдвигов {У,.}- умножением
на {ехр (-Ш/fl)}. Пространство энергетического представления есть, таким
образом, простран-
У|ЯУ8 = Я + 8, -со < е < со.
ф(т|) = ^-5^/"ф
ОО
(ф|ф)Е= ^ |ф0п)1*Ж| =
- оо Г со
со
-]/?[$-
00
= $|фе|Ме, (9.3)
О
где
144
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. II!
ство <5?^ (О, оо) функций на (0, оо) со значениями в К = С2 и с
интегрируемым квадратом нормы (9.3).
Рассмотрим в этом пространстве оператор Т = с областью определения
(r) (Т) = |фе: Фо = 0. J | 't'e |2 tfe < ooj.
Как и оператор Р+ в <5?2(0, оо) (см. § II.4), он является симметричным.
На соответствующем подпространстве имеет место аналог коммутационного
соотношения Гейзенберга
[Т, Н] = Ш.
Неортогональная спектральная мера М (dx) оператора Т строится аналогично
спектральной мере Р+ (см. (II.4.18)), так что
' С" СО
(ф | М (dx) ф) = К ^ фефe'&te'-Wfidede')--. (9.5) '0 0 /
Отсюда непосредственно вытекает выполнение свойства ковариантности (9.2)
для М (dx).
Пусть фе^(Т); тогда среднее и дисперсия наблюдаемой Т в состоянии S$,
согласно (11.6.2), равны
СО
Es^(T) = m J Ф!-^-фе<&,
0
со
= Л-^ФвГ*-Е5+(Т)"
о
Переходя по формуле (9.3) обратно к импульсному представлению, находим
Ен(Г)-шЫ (ЙШ*,,
_Joo ' 1*1 I dr> V I Ч I
ОО
Ds"(Т) = (mUf f (T)\
-LI Vhi |r)i v
*9|
НАБЛЮДАЕМАЯ ВРЕМЕНИ
145
откуда видно, что в импульсном представлении
Т = = т\р \-V*q | р |"W,
V\ ч! dt] V\г| |
причем
"(Г) = ^(т1): f I --<ooj I J I dr\ > | Г) | I | Г) i
По аналогии с наблюдаемыми координаты и импульса, оператор Т можно
назвать канонической наблюдаемой времени. Впрочем, мы увидим в следующей
главе, что и в этом случае существует бесконечно много ковариантных
измерений параметра t; еще более широким является класс несмещенных
измерений. Чтобы это показать, заметим, что область определения оператора
Т состоит из векторов состояний, для которых конечна дисперсия (Т).
Необ-
ходимым условием для этого является равенство i() (0) = О (в
представлении Шредингера это соответствует тому, что
ОО
$ (jc | гр) = 0). Это условие не выполняется, например,
- 00
для вектора состояния
ф(т,)~ехр[--Й?р], (9.6)
которое описывает "волновой пакет" со средним импульсом р, для которого
Ds^ (Т) = оо. Однако отсюда не следует делать вывод, что параметр t
("время прохождения волнового пакета") не может быть измерен с конечной
дисперсией; существуют несмещенные измерения с конечной дисперсией, не
удовлетворяющие условию ковариантности. Предполагая, что рФ 0, рассмотрим
наблюдаемую
По формуле (8.7) имеем
-Я-ЫЪ-ТЖ ЬМ-f&</>)-!.
т. е. Т дает несмещенное, с точностью до постоянной, измерение параметра
t. Это соответствует измерению "времени прохождения" посредством
измерения координаты волнового пакета (при условии, что известна средняя
скорость р/т). Дисперсия этого измерения для волнового
140
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МВХАНИКЕ |ГЛ. II!
пакета (9.6) конечна, однако возрастает как OpP/р2 при тогда как для
ковариантного намерения дисперсия не зависела бы от t.
Обращаясь к общему случаю, предположим, что гамильтониан задается
оператором умножения на независимую переменную в некотором пространстве -
^(О, оо), где К - некоторое конечно- или бесконечномерное гильбертово
пространство; таким образом, пространство представления
состоит из К-значных функций фе на (0, оо), удовлетво-
СО
ряющих условию 51 'Фв I(r) < оо, где | • | - норма вектора
о
в К. Тогда оператор
Т-т?; (Т) = |ф8: фо = 0; J | X фе |* de < cx>J, (9.7)
является максимальным симметричным в <5^(0, оо). Соответствующее
разложение единицы является ковариантным и несмещенным измерением
параметра времени t.
Время и энергия, подобно координате и импульсу, являются в механике
"сопряженными величинами". В квантовой теории сопряженность координаты и
импульса находит выражение в канонических соотношениях Вейля (4.1),
(4.2) (и в вытекающем из них соотношении неопределенностей Гейзенберга).
Рассмотрим, что соответствует соотношениям Вейля в случае пары "время -
энергия". Невозможность ввести самосопряженный оператор времени тесно
связана с тем обстоятельством, что сдвиги на полупрямой
" 10] КВАНТОВЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР 147
(0, оо) образуют не группу, как в случае прямой, а п о л у -группу.
