Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории" -> 60

Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.

Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории — М.: Наука, 1980. — 324 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnieistatisticheskiemetodi1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 103 >> Следующая

VtM{B)Vg = M{Bg^) (1.1)
для любого борелевского ВсО, где
Bg = {b: 0=g0', 0' efl)
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ СИММЕТРИЙ
175
- сдвиг подмножества В под действием преобразования g. В предыдущей главе
мы не раз встречались с этим понятием рассматривая конкретные группы
симметрий. Его значение для квантовой теории состоит в том, что оно
позволяет установить связь между физическими параметрами микрообъекта и
разложениями единицы в гильбертовом пространстве.
Чтобы еще раз пояснить это, рассмотрим следующий пример. Пусть состояние
микрообъекта S приготовляется установкой, с которой мы свяжем
фиксированный репер (систему координат) 0О. Затем установка
поворачивается как целое вокруг начала координат, так что ее новая
ориентация задается репером 6 = gS0. где g - элемент группы вращений.
Тогда состояние микрообъекта описывается новым оператором плотности =
Предпо-
ложим, что над приготовленным таким образом микрообъектом производится
измерение,описываемое разложением единицы- М (dQ). Это означает просто,
что распределение вероятностей результатов измерения 0 дается формулой
Рг{0 <= В | 6} == ТгSeM (В), Й?в^(0),
где (0) - сг-алгебра борелевских подмножеств 0. Если М(dQ) обладает
свойством ковариантности (1.1), то TrSeM(5)==TrSV?Af (В) = Тг SM (5^),
откуда
Рг{0 е В 1 6} = Рг {0 е Bg^ | 0О}, или, заменяя В на Bg,
Рг {0 е= Bg | g0"} = Рг {0 е= В | 0"}.
Это означает, что изменение ориентации установки находит адекватное
отражение в изменении распределения вероятностей результатов
ковариантного измерения.
Подобные рассуждения применимы к любому (вообще говоря, многомерному)
параметру 0, с которым связана определенная группа симметрий G. Таким
образом, всякое разложение единицы М (dQ), обладающее свойством
ковариантности (1.1), дает статистическое описание результатов некоторого
теоретически допустимого измерения параметра 0. Для любого параметра
существует бесчисленное множество измерений, различающихся хотя бы своей
точностью. Естественно возникают вопросы описания всех теоретических
измерений, ковариантных по отношению
176
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
(ГЛ. IV
к данному представлению, и выделения среди них таких, которые можно было
бы назвать "наиболее точными", или "оптимальными".
Последняя задача оказывается тесно связанной с нахождением крайних точек
выпуклого множества ко-вариантных измерений. Чтобы это пояснить, заметим,
что типичная мера точности такая как средне-
квадратичное отклонение, является аффинным функционалом измерения М. Это
означает, что для любой смеси измерений М = раМа выполняется
а
<Я{М} = %ра<Я{Ма}.
а
Известная теорема выпуклого анализа утверждает, что при определенных
условиях регулярности (см. комментарии) аффинный функционал достигает
минимума в крайней точке выпуклого множества. Поэтому оптимальные
измерения следует искать среди крайних точек множества измерений. На этом
пути проясняется роль "канонических" наблюдаемых координаты, времени,
угла и других физических параметров- они оказываются типичными
представителями в семействе оптимальных измерений этих параметров.
Отметим, что ситуация, когда существуют простые ковариантные измерения,
является скорее исключением, хотя и охватывает некоторые важные случаи.
С этой главы изложение приобретает более математический характер. В
следующем параграфе мы докажем несколько общих теорем об измерениях,
относящихся к произвольной группе симметрий, а затем применим их в
конкретных примерах.
§ 2. Структура ковариантного измерения
Говорят, что группа преобразований G действует тран-эитивно на 0, если
всякая точка 60 может быть переведена во всякую другую точку 6 некоторым
преобразованием g^G. Для транзитивной параметрической группы непрерывное
отображение g-+gQ0 - 6 (g) является отображением группы G на все
множество 0. Это отображение взаимно-однозначно тогда и только тогда,
когда стационарная подгруппа G0, оставляющая на месте точку 60,
§ 2] СТРУКТУРА КОВАРИАНТНОГО ИЗМЕРЕНИЯ
177
является тривиальной, т. е. сводится к тождественному преобразованию.
Рассмотрим группу сдвигов прямой R. Фиксируем "начало отсчета" б0 е R.
Всякая точка 0 е R получается некоторым сдвигом х точки 0О: 0 = 0о + л:.
Отображение х-* 0о + х = 0 (х), очевидно, является взаимнооднозначным.
Это же верно и для группы поворотов Т. Рассмотрим теперь группу вращений
пространства R3. Фиксируем направление ("полюс") ft0 е S2- Всякое
направление п может быть получено из я0 некоторым вращением R, n = Rn0;
отображение R-*-Rn0 = n(R) не является взаимно-однозначным, так как n(R)
= n(RR0), где R0 - любое вращение вокруг оси щ.
Так как множества 0 и G являются непрерывными многообразиями в
конечномерном пространстве, то можно рассматривать меры на их борелевских
подмножествах. Мера p. (dg) на группе G называется лево- (право-)
инвариантной, если она не изменяется при левых (правых) сдвигах
борелевских множеств A cr G:
р (g/4) = р (Л) (соответственно р (Л^) = р (Л)), g^G,
где gA = \g': g' = gg", g" еЛ} - левый сдвиг множества Л, Ag = \g': g' =
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 103 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed