Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
естественной областью значений параметра фазы является интервал [0, 2л),
а отображение 6->-е'т задает унитарное представление группы сдвигов этого
интервала по модулю 2л.
Разложение единицы (10.13) по построению удовлетворяет условию
ковариантности
e-iNQM (В) elNe = M(B^e),
где В-в - сдвиг множества В cz [0, 2л) по модулю 2л. Поэтому Р называется
"оператором фазы", а М (d6) ассоциируется с измерением фазы. Назовем его
каноническим измерением фазы.
Фаза и число квантов являются сопряженными величинами, подобно координате
и импульсу или времени и энергии. Группа унитарных операторов {eiNQ\ Ос0
< 2л} и дискретная полугруппа {Рп; п = 0, 1, ...} связаны коммутационными
соотношениями
g-i9NprigiQN _ glQnрп^ pngiN0 (Р*)л _ gidnglNB.
Ой?0<2л, п = 0, 1, ... ,
которые можно рассматривать как дискретный аналог соотношений (9.8) для
времени - энергии.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
1Б5
Как и с наблюдаемой времени, с наблюдаемой фазы можно связать свое
представление; оно состоит из функций вида
Таким образом, пространство фазового представления есть класс Харди аЖ"1
для единичного круга.
Мы видели, что различным квантовым физическим величинам, в том числе и
таким, которые не задаются самосопряженными операторами, отвечают
представления канонического коммутационного соотношения в различных
функциональных пространствах. Согласно теореме Стоуна-фон Неймана, все
эти представления унитарно эквивалентны; переходы между различными
представлениями описываются соответствующими ядрами. В силу этого выбор
представления в конечном счете не играет существенной роли; все, что
можно получить в одном представлении, переводится на язык другого и в
принципе может быть получено чисто алгебраически из канонического
коммутационного соотношения. Однако правильный выбор представления,
адекватного конкретной задаче, часто позволяет упростить выкладки и
получить результат кратчайшим и наиболее естественным путем.
§ 11. Представление по когерентным состояниям
Замечательным свойством оператора уничтожения является существование
"переполненной" непрерывной системы собственных векторов. Вводя
комплексные числа г =
=-р^==-(toQ + 1ЙЯ), положим Wz = Wq Пр. Напомним, что
т=\, так что Й = 1/ц. Соотношение Вейля -Сигала примет вид
ОО
Ф (в) = 2 е~'пв (п 140; 0 <9 <2л-
WZl№z, = exp (i ImZiZjj) №2,+2,.
(11.1)
Обозначая
имеем из (6.5)
1*) = ИМ0),
(11.2)
186
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
где |0) - вектор основного состояния. Из уравнения (6.2), определяющего
вектор состояния минимальной неопределенности, вытекает
а\г) - г\г), г е 0. (П-3)
Таким образом, векторы \г) являются собственными векторами оператора а.
Однако, в отличие от собственных векторов любого самосопряженного
оператора, они неортогональны; из (11.1), (11.2) можно получить
fa | гг) = ехр [- ~(|Zi |а +1 z21"-2Z&)] фО. (11.4)
Состояния | z) (z | называются иногда когерентными состояниями квантового
осциллятора (это название происходит из квантовой оптики, где такие
состояния играют большую роль). Таким образом, когерентные состояния
образуют подсемейство состояний минимальной неопределенности, отвечающее
фиксированному значению параметра
оа = ^ и характеризующееся специальным выбором комплексной структуры на
плоскости параметров (Р, Q).
Свойство полноты (6.6) в терминах когерентных состояний принимает вид
j|z)(z|^=/, (11.5)
где d*z = -* dP dQ. Используя "переполненную" систему
(|z)}, построим новое представление, в котором диагоналей оператор
рождения а*.
Применяя разложение (11.5) к вектору ф, получаем
IH>)"$I*)(*I4>)it-
Эта формула устанавливает взаимно-однозначное соответствие между
векторами ф <= <Ж и функциями комплексного переменного ф(г) = (г|ф). При
этом
(Ф|ф)= ^ М>|*)(*|ф)~р
С
f HI ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ 157
Отсюда вытекает, что пространство <$Г взаимно-однозначно и изометрично
отображается в пространство Х* (0) квад-ратично-интегрируемых функций
комплексного переменного г. Опишем образ пространства <Ж при этом
отображении. Полагая в (11.4) za = 0, получаем, что вектор основного
состояния iO) отображается в функцию (z1 0) = = exp (- | z |2/2).
Следовательно,
(z|n)= (zia" 10) = n = 0,1,... (11.6)
Так как всякий фееЯГ представляется в виде
ОО со
I ф) = 2 Сп I п), 2 iс" I2 = (ФI Ф) < °°.
п = 0 п = 0
то ф (z) = (z | ф) представляется в виде
Таким образом, искомое пространство S2 ((D) состоит из функций вида ф (z)
= f (z) е~ Iz i2/2, где f (z) - целая функция такая, что J\f(z) lse-
i*i'd2z = J |ф(г) |2 d2z<Coo. Скалярное произведение в ((D) дается
формулой
(Фх1Фа) = J Фх (z) Фг (z) ~ = J Mz) h (z) е~ 1 г|*
С С
Всякий ограниченный оператор А задается в ?а(С) ядром (zx | А | za), так
что
Л= j j |21)(г1|Л|га)(г2|^^.
€ €
В частности, для операторов WM из (11.1), (11.4) получаем
(Zi | Wt | z2) = exp [- j (| zx I(r) +1 z j* +1 z2J2) 4- 4- hz -
2zs].
158
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. ш
Оператор рождения задается в этом пространстве умножением на 2, так как
